——浅谈非线性斑图动力学基础
(南京师范大学数学科学学院 210046)
[摘要] 本文结合高等数学中微积分的初步知识, 简要阐述非线性科学的相图理论，并以其中的热门课题之一—斑图动力学为例，直观形象地描述非线性分叉动力学的基础概念、可激发系统下产生的孤立波、螺旋波斑图的形成机理. 从而促使学生重新认识高等数学，提高高等数学的趣味性和实用性，培养学生的实际应用能力.
[关键词] 微积分、相图、可激发系统、孤立波和螺旋波
讲授高等数学的教师大都有这样的体会，学生对其所学的内容感到很茫然，学数学到底有什么用，难道仅是为了学分吗? 其次，学生对科学家们所从事的研究又觉得高深莫测，离自己非常遥远。形成这种矛盾心理的一个重要原因是, 目前国内几乎所有《高等数学》教科书种的数学定义、定理等仍采样古典几何和传统物理学的相关知识作为教学案例, 使学生体会不到数学源于实际生活, 又广泛应用于各个领域的现状. 所以任课教师如果能结合自己的研究课题，将它们融入到日常的教学中，不仅能深化基础知识，培养学生的数学应用能力, 更能提高学生学习的积极性、目的性，同时能为其将来有可能在学术界发展提供潜在的激励和兴趣。本文作者就企图利用大一学生已有的多元函数微积分的内容去理解复杂的非线性科学前沿问题，走近科学。
在实际生活中，某个事物的变化可能和周围的环境量有关。理论研究通常将这些事物用一些状态变量表示。当输出的状态变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理时，我们称这样的系统是线性的，否则就是非线性的。非线性科学研究的领域相当广泛，由于篇幅的限制，本文只以反应扩散方程描述的时空斑图为例，引导学生用基础的物理概念和几何形象去初识这类系统。反应扩散方程可用于描述，诸如化学反应，生态系统中的捕食者-猎物，疾病的传播，森林火灾的蔓延，人口迁徙等系统。它是描述自然界运动的基本方程之一。反应扩散系统可能自组织形成在时空上具有某种规律性的非均匀宏观结构，即斑图。例如天空的云层，动物体表的斑纹等。这种自组织源于系统的动力学过程和扩散过程的耦合。研究这些斑图可以探索不同系统之间共同存在的斑图形成的基本规律。在形成机理上，斑图可能产生于临界点附近的失稳和由失稳导致的对称性破缺。所以研究系统在临界点的动力学行为至关重要。下面我们介绍一种简单的相空间速度场的方法定性的分析状态变量的动力学过程。
以二变量模型为例，
x1=f（x，y） (1)
y1=g（x，y）
f，g函数描述系统局部点的动力学行为，由于函数中不含时间，这样的系统称为自治系统。f（x，y）=0，g（x，y）=0分别称为系统(1)的nullcline曲线。 nullcline曲线的交点（x0，y0），
即 f（x0，y0）=0
g（x0，y0）=0称为均匀平衡态。描述系统在不同初始条件下的动力学行为，即（xt，yt）求状态量在x-y平面上的运动轨迹。这种轨迹称为系统的x-y相图。若把状态变量（x，y）分别看成是运动物体的位移坐标，相应地，（x1，y1）则给出了物体的运动速度。由于系统是自治的，速度（Vx，Vy）=（x1，y1）=（f，g）仅由物体位置决定，与状态量的轨迹线相切。速度的两个分量Vx，Vy可正可负，在图1中虚线箭头表示Vx，用实线箭头表示Vy。显然在nullcline曲线f（x，y）=0上的点，表示Vx=0；在nullcline曲线g（x,y）=0上的点，表示Vy=0。下面我们给出绘制自治系统x-y相图的简易步骤：
1、用虚线表示x1=0曲线，根据f（x，y）=0；用实线表示y1=0曲线，根据g（x，y）=0。
2、在实线和虚线划分的不同区域中，任选某个区域中的一点，设为A，计算该点的速度，并用虚线箭头画出分量Vx，用实线箭头画出分量Vy。箭头方向：如果f（x，y）＞0，则用→，反之用←；如果g（x，y），则用↑，反之用↓；
3、 按以下规则绘制速度场：
（1） 如果到达A相邻区域中的某个点B，需穿过虚线的nullcline曲线，则B点的速度方向为虚线箭头和A点相反，实线箭头保持不变；
（2） 如果到达A相邻区域中的某个点C，需穿过实线的nullcline曲线，则C点的速度方向为实线箭头和A点相反，虚线箭头保持不变；
（3） 虚线的nullcline曲线上只有实线箭头，同时由它作为分界线的两个领域中的点实线箭头方向保持一致，类似地，实线的nullcline曲线上只有虚线箭头，同时由它作为分界线的两个领域中的点虚线箭头方向保持一致。
以描述BZ反应中的二变量 FitzHugh-Nagumo (FHN)模型为例：
U1=■u(u-1)(a-u)-v
V1=-gu+bv-d
（1） 绘制nullcline曲线f(u,v)=0为 “N”型，为直线，如图1. 计算得A点的(Vx,Vy)=(f＞0，g＜0),根据以上规则（1），当它穿过虚线（f(u,v)=0）到达B点，Vx的符号变化从A点的Vx＞0，到虚线上Vx=f=0，再到B点的Vx＜0；所以B点的速度方向虚线箭头和A点相反，而实线箭头不变。根据以上规则（2），当B点穿过实线（g(u,v)=0）到达C点，Vy的符号变化从B点的Vy＜0，到虚线上Vy=g=0，再到C点的Vy＞0；所以C点的实线箭头和B点相反，而虚线箭头不变。
（2） 系统（2）中ε足够小（可假设ε→0），所以虚线箭头方向的矢量远远大于实线箭头，因而实际的速度场应该以图2的形式。在图2中可以看到，在小扰动下是稳定的 (如图2的点A).当扰动大于临界值时（见图2点B），系统立即趋向右分支，并沿右分支变量慢慢增加，然后变量u又快速地掉入f曲线的左分支上。最后变量v又回落至最初的系统均匀平衡。我们把这种小扰动下系统稳定，一旦扰动超出临界值，立即被激励作出大的漂移后又恢复到最初稳定态的系统，称为“可激发系统”。 图1 图2
前面所考虑的系统（2）没加空间扩散项，描述的是系统全局均匀同质的状态，类似化学系统均匀搅拌。对于波的传播和斑图的形成，假想一个正处于均匀稳定态的化学系统，在局部点加入物质u，使它的浓度徒增并超过临界值，该化学物质的浓度根据方程(2)会被激发急遽上升，从而造成与周围的强烈浓度差。系统为了消除这种梯度差会很自然的向周围扩散，它的扩散又造成邻近点物质u的急增并超过临界值受激发，这样一波接着一波的向前扩散传波，从而形成孤立波，如图3。考虑空间扩散，方程(2)可改写为
U1=■u(u-1)(a-u)-v+Du 2 u （3）
V1=-gu+bv-d+Dv 2 u
图3 图4
在二维系统中，与一般行波表现的波前波后平行一致传播不同，螺旋波的波前波后在端点处融为一体，形成奇异性结构的螺旋波顶点—为一类拓扑缺陷，如图4所示。在数值上要获得螺旋波斑图，可以通过截断一个行波，行波在截断点附近传播慢而越离开截断处传播越快，经过一段时间后就自然卷曲形成一个螺旋波。
综上所述，本文引入一种用简单的相速度场的方法介绍了非线性科学中的一个热门课题——斑图动力学中的可激发系统以及该系统所表现的孤立波和螺旋波传播现象。本文的目的在于希望同学能够对基础数学知识的应用来加深所学内容，同时激发对前沿科学的探知兴趣。
[参考文献]
[1] 欧阳颀. 反应扩散系统中的斑图动力学［M］. 上海: 科技教育出版社, 2000.
（国家自然科学青年基金，批准号：11105074；江苏省高校自然科学基金，批准号：11KJB140004）
