高中数学数列求通项常见类型及解答方法探析

前言

数列问题是高中数学的一个重要内容，也是高考的必考内容之一，而且数列问题也是高考中数学试题的一个重点、难点。但数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，总结方法比做题更重要。方法产生于具体数学内容的学习过程中。所以，在高中数列这一板块知识教学中，我们数学教师应当重点关注学生学习方法是否得当，引导学生从归纳总结数列问题和知识，构建数列知识体系，从问题和实践中总结方法和经验，从而提高学习效率。

那么，高中数列求通项有哪些类型呢？一般可用方法又有哪些呢？笔者结合自身多年教学经验，对此进行了如下总结。

一、直接观察法

直接观察法是求通项公式最简洁的方法，同时非常考查学生逻辑推理和观察能力的一种解题方法。这种 方法最适用于解决最基础和最简单的通项公式问题。通常，这类求通项的问题都有明显的特征，比如数字趋同性，数字位数成规律增加。如例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1■,2■,3■,4■,...

（3）■,-■,■,-■,...

针对这类题型，我们应重点引导学生观察每一项数字的变化规律，有分式又有整式的统一表示成假分式，再分子分母分别观察规律。正负相间的先把负号去了观察规律，再用(-1)n或（-1）n+1来调节符号。最后使用作差法等直接写出通项公式。

二、数列公式法

公式法是建立在学生扎实的数列基础知识上的，需要学生掌握数列相关公式，适用于当已知数列为等差或等比数列时。具体方法：可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。比如直接利用等差数列：an=a1+(n-1)d；等比数列：an=a1qn-1(q≠0)公式解决问题。

三、递推式求数列通项

递推式求通项这种方法应用非常广泛，非常有利于培养学生逻辑推理思维。通常适用于已知数列的递推公式求通项公式这类题型中。具体方法包括如下：

（1）形如an=an-1+d或an=an-1q，直接利用等差等比来求通项；（2）形如an+1=pan+q，采取构造等比数列的方式求通项；(3)形如an+1=an+f(n)，运用累加法求解；（4）形如an+1=f(n)an，运用累乘法求解。

例2：已知a1=1，an+1-an=2求an 的通项公式

例3： 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3，求an

例4：已知数列{an}满足 a1=2 ，an=an-1+2n-1，(n≥2),求an

例5：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2n.an，求an．

上述例题都可以采用递推的方式求通项，在教学实践中，我们可以多引导学生多题型进行归纳总结，加强同类习题或者同一解法习题训练，以培养学生良好的数学思维以及解题习惯。

四、分类讨论法

当然，在很多数列问题中，由于问题的特征较为复杂，导致结果无法统一描述，这时，就需要按问题的特征及结构，把问题分为几个类型，然后对每一种情况进行研究，对问题进行归纳总结，得出结论。如已知 Sn 的表达式或者相关式子形如（图1、图2）时，就可以引导学生分类讨论以破题。

               

 

 

 

 

                 图1                                         图2

例6：某个数列 {an} 的前 n 项和为Sn。若 Sn = 2an + 1成立，求通项公式an。

例7：在数列 {an} 中，a1 = 0 ，且对任意的K∈N+ ，a2k - 1 ，a2k ，a2k + 1 成等差数列，其公差为2k 。求数列{an}的通项公式。

例6中，Sn-Sn-1 是从第二项开始，需要分别对第一项和 Sn - Sn - 1 进行讨论，例7则要先求出奇数项的式，然后借助 a2k,a2k + 1  成等差数列求出偶数项的表达式，最后进行求解即可。分类思想是一种重要的解题策略，在解决数列问题中有着较为广泛的应用，在利用分类讨论数列问题时，要找准分类点，正确分类。

五、取倒数法

有些关于通项的递推关系式变形后含有an*an +1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以an*an +1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an ．

例 8:已知数列{an} ，a1 =－1，an + 1 = ■，n∈N* ， 求通项an ．把原式变形得 an+1 － an + 1·an = an，两边同除以an + 1·an得 ■=■+1，然后 根据已知条件可以直接求解。

可以说取倒数法其实是一种逆向思维法，在数列通项问题求解中，我们可以多组织学生进行此类方法解题训练，以此激活学生思维，发展学生逆向思维，避免学生形成思维定势。

总结

实践证明，学习数学，总结方法比做题更重要！方法产生于具体数学内容的学习过程中，要想提高数列教学效率，引导学生破解数列通项问题，我们数学教师必须注重教学方法，更要注重引导学生归纳总结解题方法。所谓“授人以鱼不如授人以渔”正是此理。

参考文献

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[2]曹亦成.数列知识学习中如何快速掌握重点[J].农家参谋，2018（19）：188.

[3]肖翼.数列学习的几点体会和建议[J].智富时代，2018（9）：232.