正交矩阵教学中的几何直观

正如冯克勤先生指出的 “代数学是数学一个大的重要分支，它对数学自身和科技进步起到很大的推动作用” [1]。高等代数是一门面向数学类专业最重要的基础课之一，它以严密的逻辑、系统的推理、抽象的思维作为其特点。在研究繁杂的实践问题时，线性化是其中常用的一种途径，高等代数学可以为问题的解决提供初步的答案。同时，各种不同的范畴中线性部分又有一定的共性，高等代数又可以为之提供统一的平台，对其理论研究提供指导。从而，高等代数学被广泛地应用到自然科学的各个领域中。高等代数课程概念多、内容抽象，是大学生心目中最难学的数学课之一，教学难度大。

任何一个结论的产生都有其背景，或是实际问题的背景，或是其他学科的问题背景，或是相应的数学问题的背景等等．让学生了解这些背景有利于学生从直观上、情感上接受结论的内容[2].对于一些抽象的概念和结论，通过几何直观了解其产生的背景，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。下面就以正交矩阵的教学为例，分析几何直观在高等代数教学中的作用。

首先回顾一些基本概念和事实[3,4]。

定义1. 称一个实n阶方阵A是正交矩阵，是指ATA=E  其中AT表示A的转置矩阵，E表示单位矩阵。称n维欧式空间Rn上的一个线性变换δ是正交变化，如果它关于Rn的标准基的矩阵是一个正交矩阵。

容易知道，正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵（即其转置矩阵）也是正交矩阵。关于正交变化有下列等价刻画。

命题1. 设δ是空间 Rn上的一个线性变换。下列条件等价：

(1)  δ是正交变换。

(2) δ保持向量的内积，即对于任意n维向量X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn)，有δ（X）δ（Y） =X·Y=x1y1+x2y2+…+xnyn.

(3)δ保持向量的长度，即对任意n维向量X=(x1,x2,…,xn),有

  δ（X）=X=■

为了让学生对正交矩阵和正交变化有更加形象的几何直观，帮助他们理解正交矩阵，下面我们考虑二维欧氏空间R2上的正交变化。设A是2阶正交矩阵。由于ATA=E ，并且AT=A ，故矩阵 A的行列式为±1 。设A=■  是正交矩阵，则列向量是单位向量，从而向量(c,s)T在单位圆周，可设 c=cosθ,s=sinθ 因此，我们就有下列结果，该结果说明二维欧氏空间 R2上的正交变化只有两种情形：坐标轴的旋转（其对应矩阵的行列式为 1），以及坐标轴的反射（其对应矩阵的行列式为-1）。而区分坐标轴的旋转和反射的一个简单办法是：坐标轴的旋转使得左手系仍然是左手系，但坐标轴的反射使得左手系变为右手系。

定理 1 设 A 是2阶正交矩阵。

(1) 若 |A|=1,则 A=■ 。此时，矩阵 A 表示的正交变化为平面R2绕着坐标原点逆时针旋转，其旋转角度为θ。如下图所示：

 

(2) 若 |A|=-1, 则 A=■ 。此时，矩阵 A 表示的正交变化为平面R2 关于向量 α=（cos■,sin■） 的反射。如下图所示：

 

注记：(1) 当 |A|=-1时，若取θ=π，则坐标轴的反射所对应的矩阵为 S=■ 。并且，有■=■S 。从而可以用矩阵S 将坐标轴的旋转和反射建立起联系。

(2) 设|A|=-1时，矩阵■ 所对应的正交变换为  T:R2→R2。则向量α=（cos■,sin■）  在T的作用下是不变的，即 T（α）=α。

从我们的教学实践中发现，通过一些具有几何直观的例子，可以引起学生很大的学习兴趣，能更好的激发学生的思考，帮助他们形成数学概念，提高抽象思维能力。

参考文献

[1] 冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[J].高等数学研究,2006,9(4):4-7. 

[2] 钟梅.高等代数教学的线与面[J].数学学习与研究,2015(3):19-19.

[3] M.Artin.代数（英文版第2版）[M].北京:机械工业出版社,2012.

[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.

作者简介

 任伟(1983- ), 男, 甘肃文县人, 博士, 副教授, 主要从事代数学方面的教学与研究。