摘 要：中等职业教育作为我国技术教育的基础，是我国高中阶段教育的重要组成部分，担负着培养数以万计高素质劳动者的重要任务。在我国职业教育走向内涵发展与质量提升的现阶段，"工匠精神"的提出，为中职学校的教学指明了方向，更为中职数学的课堂教学指明了路线，本文围绕在中职数学课教学中学生难以掌握的几类问题展开阐述。笔者认为，将 "工匠精神"应用于中职数学课堂的教学，可以从"一注三实"出发：关注学生认为很难的"唯一性"问题；夯实学生不会的"不可能、不多于"问题；扎实学生可以理解的"数形结合"问题；落实学生的"一题多解"问题。
关键词：中职数学；"工匠精神"；实践教学
引言
职业学校数学老师要如何提高数学课堂的教学效率，这是每个职教数育人都需要思考的时代命题。中职教育作为职业教育的雏形，教师有必要在以下几点上用心：
一、关注"唯一性"问题，解决学生的难题
几何中需要证明符合某种条件点、线、面只有一个时，称"唯一性"问题。对基础知识相对较弱的中职学生讲，"唯一性"问题的难度很大，因此需要重点解决，要善于在教学中总结归纳，提升学生对"唯一性"问题的突破。如：
例1：过平面α上一点A的直线a⊥α，求证：直线a是唯一的。
证明：假设直线a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b,使直线b⊥α
∵a、b是相交直线，∴a、b可以确定一个平面β。
设直线α和直线β是相交于过点A的直线c
∵a⊥α, b⊥α, ∴a⊥c, b⊥c。
这样在平面β内，过点A就有两条直线垂直于c。这会与定理产生矛盾。
所以，直线a是唯一的。
例2：证明：在平面上通过点（■，0） 的所有直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x 、y 均为有理数的点）的直线有且只有一条。
证明：先证明存在性。
直线y=0 ，显然通过点 （■，0），且直线y=0 至少通过两个有理点，例如它通过（0，0） 和（1，0） 。这说明满足条件的直线只有一条。
再证明唯一性。
假设除直线y=0 外还存在一条直线 y=kx+b（k≠0 或 b≠0）通过点（■，0） ，且该直线通过有理点A（x1,y1） 与B （x2,y2），其中x1 、 y1、x2 、 y2均为有理数。
因为直线 y=kx+b通过点 （■，0），所以b= -■k，于是y=k（x-■） ，且k≠0 。又直线通过A（x1,y1） 与B（x2,y2） 两点，
所以 y1=k（x1-■）① y=k（x-■） ②
①－②，得 y1-y2=k（x1-x2）。 ③
因为A、B是两个不同的点，且k≠0 ，所以 x1≠x2，y1≠ y2，
由③得 k=■，且k 是不等于零的有理数。
由①得 ■ =x1-■ 。
此式的左边是无理数，右边是有理数，这样就出现了矛盾。
因此，平面上通过点（■，0） 的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。
综上所述，满足上述条件的直线有且只有一条。
关于唯一性的问题，在几何、代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。
二、夯实"不可能、不多于"问题，突破学生的盲点
（一）"不可能"问题
几何中有一类问题，证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，这样的问题非常适宜用反证法。
例3：求证：抛物线没有渐近线。
证明：设抛物线的方程是y2=2px (p≠0)。
假设抛物有渐近线，渐近线的方程是y=ax+b ，可知a 、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组
y2=2px (1)y=ax+b (2) 的两组解的倒数都是0
将（2）代入（1），得 ： a2 x2 +2(ab-p)x+b2 = 0 （3）
设x1 、x2是（3）的两个根，由韦达定理，可知
x1+x2=-■, x1·.x2=■
则■+■=■=■=0 ， （4）
■·■=■=■=0， （5）
由（4）、（5），可推得p= 0，这于假设 p≠0相矛盾。所以，抛物线没有渐近线。
关于不可能问题是几何中非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。
（二）"不多于"问题
在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新假设，就可以推出更多结论，这样就容易使命题获证。
例4：已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=1。
求证：四边形中至少有一条边不小于■ 。
证明：假设四边形的边都小于■ ，由于四边形中至少
有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），
不妨设 ∠A≤90°，
根据余弦定理，得 BD2＝AD2+AB2-2AD·AB·cosA，
∴BD2≤AD2+AB2，
即 BD≤■＜■＝1
这与已知四边形BD=1矛盾。所以，四边形中至少有一条边不小于■ 。
三、 扎实"数形结合"问题，拓宽学生的解题思路
例5：已知：在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，EF＝■（AB+CD） 。
求证： AB∥CD。
证明：在四边形ABCD中，假设AB不平行于CD。
如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG。
∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点，
∴GE∥CD， GE＝■CD；GF∥AB ，GF＝■AB 。
∵AB不平行于CD，
∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。
∴ GE+GF＞EF ①
但 GE+GF＝■（AB+CD）＝EF ②
①与②矛盾。
∴ AB∥CD
例6：直线 PO与平面 α相交于0 ，过点0 在平面α 内引直线OA 、OB 、 OC，使∠POA＝∠POB＝∠ POC。
求证：直线PO⊥α 。
证明：假设直线PO不垂直平面α 。
作直线 PH⊥α并与平面 相交于H，此时H、O不重合，连结OH。
由P作PE ⊥OA于E， PF⊥OB于F，
根据三垂线定理可知,HE⊥OA，HF⊥OB 。
∵ ∠POA＝∠POB，PO是公共边，
∴ RtΔPOE≌RtΔPOF
∴ OE=OF
又 OH=OH
∴ RtΔOFH≌RtΔOEH
∴ ∠FOH=∠EOH
因此，OH是∠AOB 的平分线。
同理可证，OH是 ∠AOC的平分线。
但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是∠AOB 和∠AOC 的平分线，产生矛盾。
∴直线PO⊥α 。
四、落实"一题多解"问题，提升学生的综合能力
在数学复习教学中，选好一道例题。通过一题多思，一题多解，一题多讲。可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。
例7：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且 ■+■=1，求ｘ＋ｙ最小值。
法1，构造x+y不等式法
由■+■=1得（x-1）(y-9)=9≤（■）2 可得
变式：已知x+xy+4y=5 （x,y∈RX）求xy取值范围
法2，换元后构造均值不等式法
由■+■=1得y=9+■（x＞1）
所以x+y=x+9+■=10+x-1+■≥16
（当且仅当x-1=■即x=4时取等号）
法3，用判别式法
由■+■=1得y=■（x＞1）
令x+y=z,则z=x+■=■得关于x的二次方程x2+(8-z)x+z=0
可由△＝（8-z）2-4z≥0且■＞0
解得z的范围从而得到x+y的最小值。
注意实根分布情况讨论。
类似地，如2x+y=6,求■+■ 的范围也可用判别式法。
法4，三角代换法
令■=（cosθ）2， ■=（sinθ）2
则x+y=（secθ）2+9（cseθ）2=10+(tanθ)2+9(cotθ)2≥16
变：0<x<1,a>0,b>0，则■+■ 的最小值
以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。
总之，在中职数学的教学中，将数学知识的培养与工匠精神的养成有机结合在一起，这样才能在一个大数据时代背景下培养出更多的优秀人才。
参考文献
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