巧用数形结合 助力问题解决

数形结合是数学的一种重要思想方法，它是把抽象的数学语言与直观的图象相结合，把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，化难为易，获得简单易行的方法，助力问题的解决。

小学生的思维处于形象思维与逻辑思维相结合发展的阶段，思维发展还处于不够成熟的水平，对于抽象的内容仍难以理解。把直观的图象与抽象的数学语言相结合，帮助学生理解数学的实质，提高学生解决问题的能力。

一、善用数形结合，突出概念本质，加深概念理解

数学是从“石头记数”、“结绳记数”等从形到数开始逐渐演变成了数学概念。在概念的引入过程中，学生对所感知材料的观察和分析，将直接关系到学生建立清晰的表象，让学生从直观的形象思维过渡到抽象概念的形成，从感性认识到理性发展，从而加深学生对概念的理解和接受。

如学生在理解认识“自然数0、1、2、3、4、5…”、“分数■……”、“小数0.1、0.01……”等时，教学中往往借助有形的数学学具、教学模型，把数和形结合起来，让学生从直观形象模型感知数的生成。这样可以帮助学生丰富感性材料，为建构数学概念奠定基础，从而更有效地理解数的雏形。

又如，学生在理解正数、负数的关系时，为了能简约、清晰地表达两者的关系，让学生见“数”思“形”，以“形”助“数”。课本例题从一幅生活情景图过渡到数轴，让学生从直观上发现数与数轴上的点是一一对应的，数轴上右边的数总比左边的数大。然后以“2”与“—2”为例，体会数轴可以表示方向相反，而距离相等的两个数。结合数轴观察，使学生把负数和正数的比较从“形”上加以区分。

接着，引导学生理解“+2和—2之间相差多少？”，这道题有时候学生弄不明白怎么做，不知道算理，只要结合数轴，就很容易看出来了，“+2”和“—2”距离原点0都有2个单位长度，它们之间距离多少个单位长度，用“2”加“2”就可以算出来了。

可见，无论是数感的形成，还是理解正负数的关系，采用“数形结合”来学习，能更好地使学生建立清晰的表象，加深学生对概念的理解。

二、活用数形结合，理清数量关系，助力问题解决

应用题教学既是数学的重点，也是难点。许多学生做一般简单的题目时没有问题，但是如果遇上复杂的分数应用题时，则一筹莫展。其复杂之处就在于不容易找出数量与分率的对应关系。

如“一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的■少10千米后，剩下的是全长的■。甲地到乙地相距多少千米？”这道题只有一个带单位的数量10千米，那么我们就要紧紧抓住这个数量，千方百计寻找这个数量的对应分率，这是解题的关键。怎样找出带单位的数量对应的分率呢？最好的方法就是从图上找。

从图中可以知道，10千米与甲乙两地的[■+■-1]、[■-1-■]、[■-（1-■）]相对应的，根据“部分量÷对应分率=单位‘1’的量”。

解答一：               解答二：                 解答三：

又如“一桶油，第一次取出30%，第二次比第一次少取5千克，这时剩下45千克。这桶油原来重多少千克？” 

观察上图可知，剩下的45千克包含了5千克，5千克只属于45千克的一部分，45千克与5千克是属于包含关系，应当相减。（45—5）千克的对应分率是单位“1”减去2个30%，用对应数量除以对应分率就可以求出“整体数量”（这桶油原来的重量）。

（45—5）÷（1—30%×2）=100（千克）

可见，分数或百分数应用题变化多端，但无论怎么变化都不离其宗，这个“宗”就是对应。只要正确、灵活地运用线段图表示题意，就能清晰地揭示数量关系，它是寻找解题途径的辅助手段，可以让学生容易找出中间问题，突破难点，助力问题解决。

三、妙用数形结合，探究数学规律，促进深度学习 

形与数是相互融合，相互依存的。形中有数，形的问题也蕴含着数的规律，利用数形结合，促进数学走向深度学习。 

如，在《认识平方数》时，先让学生观察从图中看到哪些数？

可以用算式表示吗？如果把这些图形摆成其它的长方形或正方形，还可以怎么摆？这时学生发现只有“1×1”、“2×2”、“3×3”……比较特殊，能摆成正方形，如1、4、9……都是平方数。

然后让学生观察第一个平方数到第二个平方数是增加了几？如此类推，后一个平方数比前一个平方数增加几？探究相邻平方数之间的关系。

利用数与形的结合，探究从1开始的连续n个奇数的和与平方数的关系，从而得出其规律与计算方法。

                           1=12

                           1+3=22

                           1+3+5=32

                           1+3+5+7=42

                           1+3+5+7+9=52

                           1+3+5+7+9+11=62

本节课我注重让学生进行探究，通过数与形的融合教学，从图形中找出数、算式、平方数及相邻平方数之间的关系。让学生体会用图形辅助解决问题的便利性，并透过数与形的转化有效促进学生思维向深度发展。

数形结合是抽象思维与形象思维完美的统一。教学中，教师要注重引导学生透过直观的图形解释抽象的数学语言文字，使复杂的问题变得简单化，使抽象的语言文字更具直观性，使数量关系更清晰明了，有效促进学生解决问题的能力。

可见，教师在教学中渗透数形结合思想，能直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实；学生在学习过程中灵活地运用数形结合，更有效地提高解决问题的能力和加深对知识的理解。

 

参考文献

[1]《数学课程标准（2011年版）》

[2]慎飞，《浅谈小学数学教学中数形结合思想的运用》，（新课程）2019.5