创新关联是提高数学思维能力的有效方法 ——初中数学教学反思

数学关联是事物联系中的一种。数学关联是指将两个或两个以上的具有直接因果关系或非直接因果关系的数学知识、思想、方法联系在一起。数学创新关联是指因果关系深度关联和非直接因果关系的“跨界”关联。

一、直接因果关系的关联。

在数学关系中，几个不同的数学关系具有明显的因果联系。对这种数学问题，让学生按外在的因果关系，通过简单的推理，生成更多的数学知识和方法，达到丰富知识点、拓宽知识面、组建知识网的目标，使学生思维更发散、更灵活。

例1.已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠1=∠C，AE：AB=1:2，  S△ADE  =3      ，求 S四边形 BCED       。

分析：因为∠1=∠2，∠A是公共角，学生很容易发现△ADE∽△ACB。关联已知条件AE：AB=1:2，发现AE与AB刚好是以上两个相似三角形的一组对应边，从而推出1:2为相似比，进而得到S△ACB =3×4=12，最后轻松解答出 S四边形 BCED   =  12-3=9                。  

本题的因果关系比较清晰，学生在解答时会比较顺利。如果我们将这个问题的因果关系进行适当变化，则会生成新的数学问题，引发学生新的思考，激活学生思维。

例2.如图，△ABC的两个顶点A，B在⊙O上，AC，BC分别交⊙O于D，E，连结DE，已知S△CDE = S四边形 ABED   ，AB=4，求DE。

此题表面看与例1没有多大关系，但认真分析会发现实际上它们是差不多的，利用的知识点和方法没有什么变化。一是例2将例1中的∠1=∠C隐藏起来，用圆内接四边形的相关性质来隐含表达；二是例2将例1的条件“已知相似比”和结论“求面积”分别变为“结论”和“条件”。

分析：从圆内接四边形的性质引导学生去关联相关的角，很容易发现∠CDE=∠B，发现这种关系后，学生就会觉得“似曾相识”，进一步引导学生去思考两个三角形相似的作用。至此，学生的两条思维路径就清晰了。

第一条思维路径：四边形ABED内接于⊙O■ ∠CDE=∠B■△CDE∽△CBA。

第二条思维路径：   S△CDE = S四边形 ABED ■S△CDE  :          S△CBA =1:2■DE:AB=1:■ ■DE= ■  =2■         。

这种改变问题的因果关系形成新的问题，让学生去思考研究，可培养学生的逆向思维能力。另外我们也可以通过不断强化问题条件，形成更“特殊”的问题，培养学生发散思维能力。

例3.以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于D，E两点。已知   S△CDE =  S四边形 ABED ，AB=4，探讨∠C的大小情况。

该题的问题首先就是一个开放性的问题，平时我们很少用这种方式（或题型）提出问题，学生不适应，但要提高学生的思维能力，我们平时就应想方设法改变学生思维定势，激活学生思维。

分析：本题与例2条件大致一样，保持条件“   S△CDE =  S四边形 ABED  ”和“AB=4”，只是将例2中普通的“AB”改为“AB为⊙O直径”，探究的结论也变成了“∠C”的大小。

首先引导学生思考例3在例2的基础上还存在的结论：△CDE∽△CBA ■S△CDE  :          S△CBA =1:2 ■DE:AB=1:■            DE=2■

至此，要将现有的条件与∠C的大小关联上，学生感觉迷茫，思维方向迷失，教师要逐步引导：AB为直径■       所对的圆周角为90°■构建Rt△ ■连结AE（或BD）      ∠AEB=∠AEC=

90°■ ∠C=90°－∠CAE。问题来了，虽然∠C与∠CAE有了关联，但∠CAE与已知条件 DE=2■       ，AB=4并没有直接关联。此时，学生思维出现困难，本题的难点也就在此。教师要引导学生深度关联：DE=2■是⊙O弦，AB是⊙O的直径，∠CAE为弦DE所对的圆周角，而圆周角是可以转换位置的（只要顶点在圆上，所对弧为弧DE即可），同样圆的直径也是可以转换位置的（只要是过圆心的弦即可），从而引导学生构建：连结DO并延长DO交⊙O于A'   ，连结 A'E    。

A'D为⊙O直径■    ∠A'ED=90■DE=2■A'D=AB=4 ■       

sin∠A'=■■        ∠A'=45■∠A'=∠CAE∠C=90■-∠CAE■         ∠C=45。

 

最后得∠C=45°为特殊角。

问题至此，可能有教师和学生不再深入探究。其实我们应进一步引导学生：这个45°是否巧合？如果AB不同，那么∠C的度数是否会发生变化？问题一出，会燃起学生的探究激情。

思维路径很快清晰：设AB=2r ■ DE=■r ■sin∠A'=■■∠C=45■

       

问题到此还可以向更加深度的方向发展：

如：（1）当    sin∠C=■ 时， S△CDE     与 S△CBA     的面积关系？

（2）当∠C保持大小不变时，只要AC，BC分别与弧AB相交于D，E，弦DE的运动轨迹如何？

二、非直接因果关系的关联。

学生思维能力的最高层次是应用思维能力。应用思维能力重在解决新型问题或复合型问题。利用数学深度关联和非因果关系“跨界”关联，可有效提高应用思维能力，实现创新运用。

例4.已知f(1)=12-2×1=-1 ，    f(2)=22-2×2=0 ， f(a)=a2-2a           ，求f(3)的值。

本题在初中阶段可以认为是“自定义”问题，学生要对3个式子进行认真观察分析，合理归纳，发现 f(a)=a2-2a  就是其内在数学关系。只是“f(a) ”是什么？学生不明白，我们可以引导学生从函数的定义去理解， f(a) 就是一个函数值。当学生明白f(a)     实际上就是函数问题时，学生就可以理解当a=■时，将            f(a)=a2-2a中的a用■ 代替即可，所以学生可轻易得到f(■)=(■)2-2×■=3-2■ ，如果将f(a)=a2-2a定义与不等式结合起来，可设计不一样的问题。

例5.已知f(x)=x2-2x，设y=f(2x-1)，若y≥3，求x的取值范围。

学生在例4的基础上，能理解f(x)=x2-2x的含义，因此能得出：y=f(2x-1)=(2x-1)2-2(2x-1)，即y=4x2-8x+3 ，因为y≥3，引导学生分析y=4x2-8x+3是二次函数，而y≥3就是二次函数值要不小于3，学生的思维就会奔向求直线y=3与抛物线y=4x2-8x+3的交点，然后根据图象来判断x的取值范围。

由y=3y=4x■-8x+3解得x1=0，x2=2,由于抛物线开口向上，所以当y≥3时，x≤0或x≥2。

如果我们将f(a)=a2-2a与三角函数相结合，又可设计出另一类新问题，培养学生超越已有知识的应用能力。

例6.已知f(a)=a2-2a，tanα=■，求sinα。

学生理解f(a)=a2-2a后，容易知道tanα=■=■=■在初中，学生没有学过同角三角函数的转换，似乎无法解答。实际上在初中三角函数是在直角三角形中定义的，因此我们可以引导学生构建如图直角三角形来解决，

设两直角边分别为3m，8m，自然可根据勾股定理求出斜边为■m，顺利求得sinα=■=■。

这种思维能力培养策略还可以应用到跨学科知识的关联。如：将生物科血型遗传知识与数学概念结合起来，将利用频率估计概率的数学思想与其它学科应用问题结合起来等等，可以生成许多新型数学问题。为了提高学生数学思维能力，我们在平时教学中，要善于打破知识阶段界限，善于广泛关联，让学生养成良好的思维品质。