基于真实情境的高中数学深度学习 ——以“人教版必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念”为例

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的颁布，“以素养为本的教学”成为当前高中数学教学改革的主旋律。核心素养本质上是解决复杂问题的能力，需要在真实的问题情境以及具有挑战性的任务中借助问题解决的实践逐渐培育起来[1]。核心素养的属性决定了其习得必然依赖于深度学习的过程。深度学习将学生置于真实的情境中，建立情境、问题（任务）与学生活动三位一体的教学关系，基于真实情境产生需要解决的问题，通过探究问题解决的学习活动，建立新知与旧知的逻辑关系，培养学生的高阶思维能力[2]。 

“数系的扩充和复数的概念”位于人教版必修第二册第七章第一单元“复数的概念”的第一课时，是学习复数的起始课，本课题的学习能让学生理解数系为什么要扩充，怎么扩充，能很好的提升学生数学抽象、逻辑推理的素养，因此，在学科核心素养视域下，创设符合学情的真实情境，充分挖掘课题背后的学科观念、思想、方法和价值，将数学知识镶嵌于高度情境化的真实场景中，以问题串引导进行项目化探究过程，促进学生对学习内容的持久理解和高阶思维能力的发展，成为当前教师教学设计面临的挑战。 

一、课程标准要求和教材分析 

课程标准（2017年版）指出“复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。”对于复数的概念，提出两个要求：①通过方程的解，认识复数；②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。”[3]。

本课例巧妙设计了“意大利数学家卡尔丹研究的问题”、“数学家研究实系数一元三次方程的求根公式”等连续的情境任务，逐步揭示隐含于学习任务中的知识及学科思想和方法，变传统的教师讲解灌输为学生的主动探索发现，揭示数系扩充的必要性，从而弘扬学科价值，达到深度学习的目的。 

二、教学目标分析 

（1）了解引入复数的必要性； 

（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数系抽象、逻辑推理素养； 

（3）理解复数的代数表达式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义。  

三、过程与方法

（1）通过解方程进行问题引导，借助已有的数系扩充经验，运用类比的研究方法，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，感受引入复数的必要性和合理性，提升学生的逻辑推理素养；

（2）通过引导学生按照“规则”自主探究出复数中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示法，提升学生数学抽象素养；

（3）从保证集合中元素的互异性出发，给出两个复数相等的含义，并得出复数实质上是一个有序实数对，提升学生逻辑推理素养。　　

四、教学重点和难点

（1）教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念。

（2）教学难点：复数系扩充过程中的数学思想，复数的代数表示。

五、教学过程设计

（一） 创设情境，引出研究内容 　

情境1：PPT展示介绍意大利数学家卡尔丹，提出其研究的问题：能否把10分成两部分，使二者之乘积为40？（卡尔丹是第一个将负数开平方的答案下来的人，x1=5+■,x2=5-■）。

情境2：1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，例如求解x■-15x-4=0时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根：x■=■+■,x■=-2+■,x■=-2-■，而通过因式分解，得(x-4)(x■+4x+1)=0，因此方程的三个根：x■=4,x■=-2+■,x■=-2-■，于是得到■+■=4，这个当时无法理解的等式。

设计意图： 利用数学发展史创设真实情境，数学家开始尝试解决负数到底能不能开平方，负数怎么开平方，负数开平方的意义等问题，但实数集中没有这样的数，于是对实数集的扩充势在必行，从而引发冲突，提出问题，引出课题。 

（二）学习任务1： 方程求解，梳理扩充规则 

问题1：回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，思考每一次数系扩充的社会实践需求是什么？分别引入了什么新数和符号？能从解方程的角度加以说明吗？与原来数集中的运算律一致吗？（学生分组探究，填写表格）

问题2：从方程的角度看，类比从自然数扩充到实数的解方程需求，负实数能不能开方，可否转化为一个最简单的方程是否有解的问题呢？

问题3：方程x■+1=0在实数系中无解，引入什么新数才能使方程有解？

设计意图： 以问题串形式进行项目化探究，引导学生自己去发现数系的扩充规则，体现学习新知的合理性和必要性，更能体现对于数系扩充的深度学习，培养逻辑推理素养。在学生探究完成后，介绍与虚数单位i有关的历史，并完整呈现数系扩充后的表格。

（三）学习任务2： 依据规则，合理引入复数 

问题4：把新引进的数i添加到实数集后，实数系得以扩充，类比之前总结的规则，得到的新数系由哪些数组成？

追问1：根据同学们所说的数，你能写出一个一般形式吗？

追问2：你能用集合来表示新数集吗？

问题5：阅读教科书，回答以下问题：

（1）复数的虚数单位、实部、虚部分别指什么？

（2）什么是虚数？什么是纯虚数？试举例说明。

（3）复数集C与实数集R有什么关系？请对复数进行分类，并用Venn图表示它们之间的关系。

（4）两个复数a+bi和c+di相等的含义是什么？

设计意图：通过问题引导，使学生抽象概括出复数的代数形式和复数集的含义，有效培养了数学抽象素养。通过学生自主阅读，梳理复数相关概念，明确了数集之间的关系。从确保集合元素互异性和确定性角度，明确集合中两个元素相等的含义，从而揭示复数相等的本质，使学生知其然、更知其所以然。

（四） 学习任务3： 精选典例，强化理解应用

例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

  0，i ，0.618,2+■，-■i，-2+■i，5i+8， i2

例2 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数?

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数

例3 已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值？[4]

设计意图： 通过典例训练，巩固所学知识，加深对概念的理解，从而内化为学生的能力。

（五）学习任务4：反思总结，提炼学习收获

问题6：通过本节课的探究与学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、学习经验等方面谈谈 

　　设计意图：让学生反思整个探究和学习的过程，总结个人体会，能有效加深学生从数学本质的角度去理解所学内容，除了对知识方法、数学思想、学习经验等方面的总结外，还应关注对学生数学文化的渗透，体现数学学科的育人价值，比如情境引入中数学家们为探究新知而不懈努力的精神，使学生获得深刻体验，真切感受到数学学科的巨大价值。 

六、教学效果及反思 

本节课教学设计通过4个连续的学习任务，进行项目化探究，让学生围绕特定目标，基于已有经验，解决真实问题情境为主线，在问题解决过程中，付出持续的努力，通过分析判断、类比推理、创造性思维以及反省认知等复杂的思维活动，形成对知识的深度理解。 

课堂观察中发现，学生学习相当投入，同学间合作高效，发言踊跃、正确率较高。课后访谈中同学们说：“有趣的问题情境和新颖的获取新知的过程让每一个人沉浸在快乐的课堂中，完成课后作业时，思路比平时更加清晰，上课时合作探究的结论都能派上用场”;“数学不仅有趣更有用，要学好数学，学习数学家们孜孜以求、不断探索的精神，为祖国多做贡献……”等等。学生的课后作业批阅结果也显示，知识应用与迁移能力得到了有效提升，体现了深度学习的高效性。

当然，基于真实情境的深度学习设计并非易事，需要我们不断学习，在备课时精心准备，寻找大量素材，设计出符合学生认知、适合所学内容的情境，为学生的深度学习提供平台。同时也需要不断的改进和创新，以寻找更适合培养学生数学核心素养的教学模式。

参考文献

[1] 张华. 论核心素养的内涵[J]. 全球教育展望， 2016， 45（4）： 10～24. 

[2] 杨玉琴， 倪娟. 深度学习： 指向核心素养的教学变革[J]. 当代教育科学， 2017， （8）： 43～47. 

[3] 《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.6:26-27.

[4] 《普通高中教科书数学必修第二册》（2019年人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2020.12:67-70.