多元表征 高效建构空间观念 ——由执教《圆柱的认识》一课有感

一、眼上观体，体实而不虚

人类认识事物的第一步是眼观，如果观感丰满，影像则清晰。鉴于此，课始，师生带上课前自制的小旗，形如                  等快速旋转起来，教室顿时

            

 

 

 

 

五颜六色、各式各样的体顿时“立”在了学生眼前，真有些“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”的美感映入眼帘；接着让学生高举自认为的圆柱体，并说说怎样的图形是圆柱？初步让学生从众多形态各异的“体”的对比中认识“圆柱”的外部印象：直直的，上下通身一样粗大；然后让学生晾晒课前收集的圆柱形实物，教室好像召开圆柱体博览会，灯笼、硬币、空心钢管、茶叶罐等长的、短的，高的、矮的，胖的、瘦的，厚的、薄的，深的、浅的，大的、小的映入孩童的法眼，让学生置身于圆柱的世界；最后伴着古典音乐在欣赏生活中的圆柱形物体，随着小导游一会儿来到永定土楼，一会儿来到北京天坛，一会儿来到法国比萨斜塔……真切再感知这些圆柱正放、倒放、斜放的“姿态”，深切体会到不管圆柱横、竖怎么摆放，它们共同的特点是像这样                   的形体叫做圆柱。

如此一转、一举、一赏、一游，学生始终在观察中真实感知圆柱的“体形”，对圆柱的初印象是丰富而又实在的。这与数学家阿蒂亚认为“几何是真实视觉思维占主导地位”是相稳合。

二、手上触体，体真而不假

众所周知：现实情境和活动经验是发展空间观念的基础。为了进一步认识圆柱，仅靠看是远远不够的，空间观念的建立必须与活动紧紧相连。据于此，而依于行。让学生带着问题依托学习单来完成一系列触体的动作：（详见学习单）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

首先，让学生通过摸一摸：感受圆柱的面是滑滑的，上下面是平平的，摸圆柱的侧面时手指在做弯曲运动，明显感知圆柱的侧面是弯曲的，是一个曲面；

其次，让学生用手中的立体图形滚一滚：体验到圆柱可以滚动，而长方体和其它物体不易滚动；

接着，让学生发现圆柱上下两个底面还有哪些特征？同学们的想法不尽相同：有的用比一比，有的用印一印，有的用量一量，有的用算一算等方法亲自发现圆柱上下两个底面是完全相同的圆面；

然后，探究高在哪儿？让学生指一指，为了验证高的特征，让学生准备了竹签和萝卜，将竹签垂直插入萝卜，并做上记号，再抽出量一量、比一比等方式，发现：圆柱上下两个底面之间的距离叫做圆柱的高，高有无数条，而且都相等。为了拓宽对高的认识，让学生双手比划，感受不同物体的高度，如，铅笔的长度、硬币的厚度、井的深度、压路机的宽度以及圆柱形水管里水流的速度等虽说法有别，但其实本质都相当于圆柱的“高”；

再，在研究圆柱的侧面展开图时让学生亲自动手剪一剪，围一围，发现：不管竖竖地剪、斜斜地剪，还是不按规则地剪，最终均能围成原来圆柱形模样；

最后，再让学生把长方形或正方形小旗快速旋转，发现：旋转速度越快，越像圆柱。即使同一面长方形小旗，以长方形的长为轴，宽为半径或是以长方形的宽为轴，长为半径旋转而成的圆柱的大小不同。

这样，“口说千遍不如动手一遍”不仅符合小学生好玩和好动的天性，而且符合“四基”中的“积累基本的活动经验”，也强有力地诠释了《2011版课标》“把空间观念作为义务教育课程的核心概念的缘由和意义”。

这样，“由立体到平面再到立体”，思维“在二维与三维空间之间自如转换”，这对孩童的认知发展和空间观念的构建是至关重要的。

三、纸上画体，体准而不糊。

有了眼观、手触，进一步让孩童更深入地了解圆柱的形体特征，安排孩子们观看媒体演示是如何一步步把一个个圆柱形实物抽象出图形后，放手让孩子们尝试把手中收集到的形态各异的圆柱形物体手动剥离圆柱非本质的胖、瘦，高、矮，长、短，粗、细的元素，抽象出其共有本质，画出它们的示意图，形如                                     ，再标注出圆柱的各部分名称：圆柱是由３个面围成的。上下两个面叫做底面。圆柱周围的面（上下底面除外）叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高。如图：

 

 

接着把圆柱的侧面展开图让学生尝试画出来，让学生在示意图中真切感受因沿着不同的剪法而带来的笔下画出的侧面展开图的多样性。形状如：

 

 

 

不管怎样剪都能围成原来圆柱的样子。这时，引导学生对比观察：你认为要研究圆柱的侧面积的大小，应该选择哪种剪法得到的展开图更方便些？进而追溯到应该怎样剪呢？为什么？

功到自然成，没有任何“逼”和“塞”，学生对比实验发现只有沿“高”剪展开图是长方形。这为发现“圆柱的侧面积＝底面周长×高”埋下了重要伏笔。

最后，再把前面动手围和旋转后所观察得到的图像画在纸上，同样一张长方形纸，通过围和转，得到如此多的不同。如下图：

 

 

 

 

 

 

 

经过这一围，一转和一画区分了围与转的不同，感受到了平面图形与立体图形之间的转化，特别是在画中构建了长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高之间的沟联，也沟联了长方形的长与宽和圆柱的底面半径与高之间的关系，为后续发现圆柱的侧面积和表面积计算公式，也为解决更复杂的立体图形的实际问题打下了坚实的基础，更为发展学生的二维与三维空间思维之间自如转换再一次鸣啰敲鼓，不仅奏响了高效课堂的主旋律，更为孩子们夯实构建空间观念画上了浓墨重彩的一笔。

四、嘴上述体，体谨而不散。

数学是思维的体操，语言是思维的外壳。史宁中教授强调“让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的嘴巴表达世界，用数学的头脑分析世界。”的确“只有想得清才能说得清。”有了前面的眼看、手摸、笔画，学生对圆柱的认识已有一定的感觉，非常有必要让孩子们直抒胸意，表达所见所感。无论是对圆柱的直直的感官，面摸上去平平的、滑滑的，能滚很远等质朴真实的语言；还是我们肉眼看一看，印一印，比一比，量一量，算一算或推理法都发现圆柱上下两个底面是大小、形状完全相同的圆，侧面是一个弯曲的面。如果沿高剪展开是一个长方形，围起来又是一个圆柱的诸多发现；或是不妨实验发现：沿高剪展开，圆柱的侧面积会等于长方形的面积，是因为长方形的长围起来是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。

又因为  长方形的面积＝   长   × 宽

所以：圆柱的侧面积＝底面周长× 高 ；

亦或是对于一张长方形纸围成圆柱，学生有两种不同的围法：一种是以长为圆柱的底面周长，宽作圆柱的高，看它长的矮矮胖胖的，为了加以区别，我们叫它“矮胖墩”，另一种则是以宽为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高，我们叫它“瘦高个”。考考大家：它们之间什么相同？什么不同呢？一看一比便知道，它们的侧面积是相同的，矮胖墩的表面积大于瘦高个，那不妨继续猜测：它们的体积会否是矮胖墩的体积大于瘦高个的体积呢？欲知其中奥秘，且听下回分解；还是学生还发现同样一张长方形纸旋转，得到了两个不同的圆柱：一种以长为高，宽为半径旋转得到的圆柱；另一种以宽为高，长为半径旋转得到的圆柱，它俩之间又有怎样的联系和区别呢。

……

经如此描述，用语越严谨，表达越精准，越流畅，越完满。一个个特征清晰明朗、严谨精准的“圆柱”不仅停留在孩子们的眼中和手中，而是跃入了孩子们的脑中和心中，必将成为智慧之种生根发芽，开花结果，繁衍生息。

五、脑中想体，体立而不倒。

众所周长：所有事物的认识的深刻与否最终反应在脑部世界里。教学中紧紧根据人类认知规律从感知到表象到抽象到应用的全过程，让学生经历肉眼观察，动手触摸感知圆柱，再动手画圆柱，形成清晰的表象，配以动口描述，进而认识圆柱各部分名称的特征以及之后趁热打铁，相机安排学生一边玩玩、摸摸、转转、说说，一边闭眼，用画外音，小导游，微课等形式辅助学生一边完成想象一边睁眼观察，一边摸、一边说……如此一睁一闭：把你看到的、摸到的请到脑海里，怎么样？闭眼后还看见圆柱了吗？能想起圆柱长的样子了吗？别急，慢慢地，圆柱在脑中的影像有没有越来越清晰起来呢？就这样，对圆柱的认识在眼脑手耳口等多种感官协同作战下由浅入深，由粗到细，由点到面，由模糊到清晰地多样表征，进而全面、细致、精准地把圆柱深深地印在脑海里。最后，结合思维导图：

 

 

 

 

 

 

让学生感官全程参与，圆柱便在学生的“可观、可触、可

摸、可画、可说、可想”中走向“可用”，真正让学生的思维对圆柱体认识达到的“实而不虚”，“真而不假”“准而不糊”“谨而不散”达到“立而不倒”，重新打造“立体图形的认识”的高效的学习新模式，最有效地培育了学生如何构建发展空间观念，同时，让数学以鲜活、有趣、好玩、有用填充了学生的认知观，实现教是为了不教的终极目的。