一、问题
设为a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2 ＜ 2 (ab＋bc＋ca) （人教版高中数学第二册<上>P31习题6）
二、知识背景介绍
三角形的基本知识及相关定理，不等式的基本性质，重要不等式，不等式证明的基本方法等都已学过。
三、问题解决的探求过程
甲同学:由重要不等式知，a2 + b2≥2ab，b2 + c2 ≥2bc，c2 + a2≥2ca，将上面三个同向不等式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。
蛮有把握的甲同学的希望落空了，同学们也一致认为甲同学的证明是失败的。而作为教师并没有随意附和，却给以辩证的点评：从解决该题的目标角度看，甲同学的方法是不成功的，但证题过程中所推得的不等式是正确的。这样的评价得到全体同学的一致认可。教师随即要求全体同学查找原因。
乙同学：甲同学在解题时忽视了“a、b、c为△ABC的三条边”这一条件，因为在△ABC中，三条边a、b、c必须满足“a- b < c，b-c < a，c-a < b”。教者点头示意表示赞同，并请该同学板演证明过程。
证明：因为a、b、c是△ABC的三条边，所以a-b < c，b-c < a，c-a < b，从而(a-b)2< c，(b-c )2 < a，(c-a )2 < b，将上面三个同向不等式相加得：a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca)，证毕。
乙同学满意地回到座位，但教师并未做任何表态，同学们从教师的神情中似乎读出了一些疑虑。所有同学眼睛都盯住黑板，反复推敲每一个步骤。不一会儿，丙同学对乙同学的证明提出了质疑：由a-b < c得(a-b )2< c是不对的，因为a-b不一定是非负数。丙同学的发现使全班同学为之一振，但很快又陷入了困境。
教师：丙同学的质疑切中了要害，解题过程中的每一步推理都必须有充分的理由。发现了问题，等于找到了突破口，请同学们思考能否将推理的条件变得充分。丙同学随即有了思路，教师让其在黑板上板演过程。
证明一：因为a、b、c是△ABC的三条边，所以a + b > c，b + c > a ，c + a > b，据不等式的基本性质得，(a + b) > c，(b + c) > a，(c + a) > b，将上面三个同向不等式相加得，a2 + b2 + c2 >–2(ab + bc + ca)。
丙同学对自己推得的结论表示迷惘，摇摇头回到座位。
教师：同学们，尽管我们的探求多次受挫，但每一次的反思都能发现一些问题，并设法对解题过程进行调控，这种探求的精神和方法值得肯定。乙、丙两位同学的思路很好，只是调控不当。希望大家在对两位同学的证题过程进行分析、思考的同时，注意调控的策略，力求探寻出新的生长点。
全班同学讨论、质疑，教者巡视，并加入到讨论的行列中。
剖析乙同学的证明过程，若能保证a ＞b-c≥0，b＞ a- c≥0，c＞a-b≥0，那么问题便迎刃而解。一名同学从a-b≥0，a-c≥0，b-c≥0得到启发，只要a≥b≥c即可，但原题并未明确a、b、c的大小关系？一个新的问题被激活了。教者引导大家观察待不等式，发现a、b、c是可轮换的，即a、b、c的地位是相同的。而对于一个给定△ABC而言，其三边的大小关系也是确定的，因而我们可以指定最大边为a，最小边为c，则a≥b≥c的条件不就具备了吗？这样，在不改变条件原意的情况下，创造性地运用了条件，使问题得到解决。此刻全班同学兴奋起来，又有一名同学提出，既然在三角形中任意两边之差小于第三边，那么不仅有a > b-c，也有a > c-b，即a >│b-c│，同理b>│a-c│，c>│a-b│，这时将每个不等式两边平方不就可行了吗？
教者思忖：一旦学生的思维被激活，其力量不可小视。不如乘胜追击，力求更大收获。
教师：同学们在反思乙同学的证题过程中，取得很多成果，我们再来共同研究丙同学的受挫原因。从丙同学推得的结论看，不等式a2 + b2 + c2 > -2( ab + bc + ca)是显然成立的，这说明将a + b > c ，b + c > a ，c + a > b两边平方是不可取的。观察待证不等式的结构特点，能否找到突破口？
在同学的共同努力下，很快找到了解决办法，证法如下：
证明二：因为是a、b、c是△ABC的三条边，所以，a + b >c，b + c > a， c + a>b，又a >0，b >0，c >0由不等式的基本性质得，(a + b)·c > c2，( b + c )·a > a2，(c + a)·b > b2，将这三个同向不等式相加即得a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)。
受上述分析的启发，丁同学又给出了一种证法。
证明三：在△ABC中,由余弦定理知，a2 + b2 – c2=2abcosC，b2 + c2 – a2 =2bccosA，a2 + c2– b2 =2cacosB三式相加得a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB 。因为A、B、C是三角形的内角，所以cosA<1，cosB<1，cosC<1，从而2abcosC + 2bccosA + 2cacosB < 2(ab + bc + ca)，即a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)，证毕。
教师：这节课，大家通过反思、调控、创造给出了该题的三种证法，最后请同学们根据探求的结果，给出三角形中三条边的平方和与两两乘积之和的一个关系式，请甲同学在黑板上板演出来。
甲同学：在△ABC中，a、b、c是其三边，则ab + bc + ca≤a2 + b2 + c2＜2(ab + bc + ca)。
结束：全班同学在分享成功快乐的同时，也沉醉在欣赏数学的对称美、发现美与创造美之中。
四、问题探求过程的几点启示
1、挫折是一笔宝贵的财富。回顾该题探求过程，可谓一波三折。每一次受挫都迫使同学们对证题过程进行反思、调控。通过查找错因，暴露知识与能力的缺陷；通过自我调控，提高了自我认知的能力，培养思维的深刻性，锻炼了思维的创造性。此外，经历了从失败到成功的过程，更增添了克服困难的信心和勇气，对今后的学习、生活将会产生巨大的正面影响。
2、探究、反思，调控是解题教学卓有成效的关键。证法一的成功，基于在探究条件的同时，创造性地运用条件，突破了问题的难点。证法二、三的探求，基于对待证不等式结构特征的分析、联想，寻得证题的思路与方法。而证题过程中的每一步调控都建立在不断反思的基础上。
3、教者公正的评价，及时的鼓励，恰当的引导是帮助学生获得成功的保证。新课标理念指导下的教师角色定位：教师是学习活动的组织者、参与者、引导者。所谓组织者，即学习活动内容、过程要教师设计。课堂气氛的把握与调控，积极地评价与鼓励是教师组织好教学活动的重要手段。所谓参与者，即教师要始终参与到学习活动的全过程中，与学生进行广泛的沟通与充分的合作与交流。所谓引导者，即当学生遇到困难时，或问题解决陷入困境时，教师给予恰当的引导、启发，而不是直接教给学生解决问题的方法。
