小学高段数学解决问题用 方程和算术方法的区别探讨

引言

在宁波大学进修学习，有幸聆听了黄荣良教授的小学数学研究课程。反思在教学过程中出现的疑惑。小学高段数学教学解决问题时用方程解和用算术解哪种方法有利于学生的发展。他们有着怎样的逻辑结构关系。作为教师如何处理方法，领会现代数学思想，较准确把握数学本质呢？  

一、算术方法与方程方法的联系

算术可以简单的理解为计算的方法。算术的基本对象是数及数之间的关系。算术是人们认识数学的开始。小学数学解决问题主要有算术解法和方程解法两种方法。不管是方程解法还是算术解法都是以四则运算和常见的数量关系为基础，需要分析已知量和未知量的关系进行列式计算。算术方法是基础。

二、算术方法与方程方法的区别

方程解法需要用字母表示未知数，然后根据题意找出题目中的数量关系，根据等量关系列出方程，在解方程时未知数和已知数一起参与列式计算。算术解法是根据题目中的已知量和未知量间的数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么，然后用已知量和运算符号列算式，通过计算得出结果。在解题过程中未知数是目标，不参加列式计算，一种单向的算术程序思维，重在程序、步骤和结果。

算术方法时学生的思维主要是逆向思维，适用于相对简单的问题。但是小学数学高段数学问题比较抽象而复杂，用算术解决比较困难且繁琐，这就需要采用更高级的方程方法来解决。方程法在高段年级才开始运用，属于一般性的程式化方法，需要找出等量关系解决问题，是一种代数思维。代数思维需要用关系或结构来描述，它的目的是发现（一般化的）关系、明确结构、并把它们联接起来。

三、算术方法与方程方法在解决问题中运用举隅  

（一）鸡兔同笼问题中两种方法的运用

鸡兔同笼是一道比较典型的数学问题，算术方法和方程方法都可以求出正确结果。问题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？

算术方法1：假设笼子里全都是鸡，那么就有35×2＝70（只）脚，比笼子里少了94-70＝24（只）脚，因为一只兔子比一只鸡只多2只脚 ，因此要用24÷2＝12（只）兔子来换12只鸡，这样笼子里面有35-12＝23（只）鸡。

算术方法2：假设笼子里面全是鸡，那么脚的只数为35×2＝70，而笼子里面脚的只数为94只，因此应该有一些兔子。假设有34只鸡和一只兔子，那么就有34×2+4＝72（只）脚，还不足。按此方法依次增加兔子的只数，就可以发现笼子里面应该有23只鸡和12只兔子。

算术方法3：假设让鸡和兔子全把脚抬起来，那么笼子里面应该少了35×2＝70（只）脚，则可确定剩下的脚全是兔子的，因此兔子的只数为（94－70）÷2＝12（只），则鸡的只数为

35-12＝23（只）

方程解法：设笼子里鸡的只数为X，则兔子的只数为3，则有2X+4(35-X)＝94，解方程可得X＝23，由此可知笼子里有23只鸡和12只兔子。

（二）工程问题中两种方法的运用

工程问题也是小学高段数学中一类比较典型的习题，既可以用算术方法解决也可以用方程法解决。如甲乙两人共同合作一批零件需要30天完成，两人合作了12天后，甲又单独做了22天，剩下由乙单独完成需要16天。已知甲每天比乙生产的零件少4个，问完成任务时乙一共做了多少个零件？

算术方法：由题意可知，甲一共做了12+22＝34（天），乙做了12+16＝38（天），两人共同合作需要30天，与此相比，可知甲多工作了4天，而乙则少工作了2天，即乙两天的工作量甲需要4天完成，因此乙的工作效率是甲工作效率的2倍。乙每天比甲多做4个零件，即甲每天做4个零件而乙每天做8个零件。由此可知乙做的零件数为8×28＝224（个）

方程方法：设甲每天生产的零件个数为X个，则乙每天生产的零件个数为X+4,由此可知

30X+30(X+4)=34X+28（X+4）解方程可行X＝4，则乙每天做的零件个数为4+4＝8（个），由此可得乙做的零件个数为8×28＝224（个）

通过计算可以看出利用算术方法和方程方法解决问题的区别是算术是对具体数值进行计算，在运算的过程中是利用已知量求未知量一步步解决问题的。而方程解法是用符号来表示未知量，然后将其看作已知量与其他已知量一起建立等量关系，然后再根据等式的性质通过方程变形求出符号所代表的数值，进而解决了问题。因此我们也可以看出算术与方程是有比较明显的区别的。

区别一，算术方法是对具体的数进行处理，而方程则处理的是抽象的符号。算数方法中每个数值都有确定的意义。如在24÷2＝12这个算式中，24代表的是24只脚，12表示一只兔子还剩2只脚，12代表有12只兔子。而方程是利用抽象的符号来表示未知量，然后再对符号进行运算。如2X+4(35-X)中字母可以看作数，然后再进行计算。

区别二，算术思维是一种特殊化的思维，而代数思维则是一般化思维。算术思维需要借助一些辅助信息，逆向解决问题。而方程中引入了符号，顺向解决问题即可。如鸡兔同笼问题中的算术方法需要借助鸡和兔的数量和头数来思考问题，而方程解法中只需要按照一般情况考虑即可。由此可知算术思维可拓展的空间小，具有一定的依赖性，而代数思维可拓展空间较大，具有较高程度的抽象化。

区别三，算术方法解决问题时关注的是解决问题的方法和策略，而方程重视的是问题的结构。如在鸡兔同笼的算术方法解决问题中，关注是怎样一步步地解决问题，进而得出问题的结果。则方程则关注的是从问题中抽象出来的结构关系，得到关系后进行形式化操作即可。此外，算术方法一个问题经常有好几种解法，方法比较灵活，有利于培养学生的分析问题、解决问题的能力。而方程方法则是一个建模的过程，总是套用一个模式，比较呆板，不利于学生的灵活思考。

结语

小学高段数学解题中虽然代数方法逐渐取代了算术应用题。代数思想方法不断的渗透到小学数学中来，解决问题的算术解法有所淡化。但任何事物都必须保持一个适当的度，用代数方法完全取代算术方法是不可取，也不可能的。算术方法有它独特的实用价值和思维训练的价值。因此教师在引导学生解决问题时要让他们清楚地认识到两种方法各有所长，应该相互融合，而不是彼此排斥。

 

参考文献

[1] 刘建英.方程和算术方法解应用题比较[J].甘肃教育,2000,(7):58-58. 

[2] 刘子辉.哪种解法好[J].读写算：小学高年级,2011,(10):45-46.