泊松过程与几个常见概率分布的联系

一、引言

在本科生的《应用随机过程》教学中，泊松过程是一类重要的随机过程，它在物理、生物、金融、保险等行业都有广泛的应用。例如，假设有一个物理系统能随机的均匀的辐射粒子（图1），那么可以用时间齐次的泊松过程对该粒子流进行计数，也就是说，泊松过程可以刻画在一定的时间内该系统辐射粒子的个数。

 

 

 

      图1 均匀粒子流

一般地，泊松过程通常可以用来刻画某随机事件在一定的时间内出现的次数。比如，可以刻画一些极端事件在一定的时间内出现的次数，例如：地震、交通事故及股票市场大的震荡等。本文将介绍泊松过程的定义及其与几个常见概率分布的联系，希望通过这些介绍能够帮助本科生理解泊松过程，为进一步学习和应用该过程奠定基础。

二、泊松过程与泊松分布

首先给出时间齐次的泊松过程的定义，我们采用如下较为直观的定义方式[1,2]：

定义1：假设(N(t),t≥0)是一个计数过程，即为一个取值非负整数的随机过程。如果满足：

(1)N(0)=0；

(2)具有平稳的独立的增量；

(3)对任意的t≥0及h>0，有P(N(t+h)-N(t)=1)= λh+ο (h);

(4)对任意的t≥0及h>0，有P(N(t+h)-N(t)≥2)=ο (h);              

其中λ>0，ο (h)表示h的高阶无穷小，即■■=0.

则称(N(t),t≥0)为一个强度为λ的时间齐次的泊松过程。

注1：上述定义中(3)和(4)可以理解为：在足够小的时间间隔h内，我们关心的随机事件出现一次的概率近似为λh，出现两次或更多次的概率可以忽略不计。从这个角度看，定义1较为直观，在实际应用中可以作为判断能否应用泊松过程的依据。

命题1：假设(N(t),t≥0)是定义1中所定义的时间齐次泊松过

对任意的t>0，则P(N(t)=k)=■e-λt,k=0,1,2,...

即N(t)服从参数为λt的泊松分布。

证明：通过定义1中的(2)-(4)，我们可以得到微分方程，进而得到命题1。此处证明篇幅较长，我们省去证明，读者可参看[2]。

注2：事实上定义1中(3)和(4)可以改为命题1中的结论，两种定义是等价的，可参考[1]。

三、与二项分布的联系

在《概率论》的学习中，我们已经知道二项分布与泊松分布之间有一定的联系，也就是下述著名的泊松定理。

引理1：假设随机变量X服从参数(n,p)的二项分布，在n较大，p较小时，X近似服从参数为np的泊松分布。

注3：利用引理1，可以直观解释为什么定义1蕴含命题1。对任意的t>0，把[0,t]切割为长度为h的不相交的小区间，不妨假设h可以整除t。根据注1中的解释，在足够短的时间间隔h内，我们关心的随机事件要么发生，要么不发生。因此N(t)可以看作是服从参数(t/h,λh)的二项分布。进一步，根据引理1，N(t)近似服从参数为λt泊松分布，这便是命题1的结论。

我们还有如下结论，可以看到泊松过程与二项分布的联系。

命题2：假设0<u<t，k∈{1,2,...，n},则

P(N(u)=k|N(t)=n)=C■■(■)■(1-■)■.

证明： 由于P(N(u)=k|N(t)=n)=■=■=■

 

通过直接运算，便可到该命题的结论。得证。

四、与指数分布的联系

假设我们关心的随机事件第一次发生的时刻为τ1，那么我们有如下结论：

命题3： τ1服从参数为λ指数分布。

证明. 事实上，我们有

P(τ1>s)=P(N（s）=0）=e-λs

得证。

进一步，如果记τk为第k次事件出现的时刻，我们还有如下结论。

命题4： 泊松过程两相邻事件的时间间隔{τ1,τ2-τ1,τ3-τ2,...}服从独立同分布的指数分布.

证明.由于严格证明需用到强马氏性，超出该文章的范畴，故此处我们只介绍该结论。

注4. 上述命题的便利之处在于，可以用它来对泊松过程进行计算机模拟，也就是说我们

图2 泊松过程轨道模拟图

可以生成一些独立同分布的指数分布随机数，作为相邻事件发生的间隔时间，每经过一个间隔时间，我们计数一次，便可得到泊松过程的模拟。强度λ=1的泊松过程模拟图如图2。

五、与均匀分布的联系

下命题阐述了泊松过程与均匀分布的联系。

命题5： 对任意的0<s<t，有P(τ1<s|N(t)=1)=■.

证明.由P(τ1<s|N(t)=1)=■=■■=■

其中，我们用到泊松过程的增量独立和平稳性。得证。  

注5：上述命题刻画了在[0,t]时间内只发生一次随机事件的条件下，该事件在[0,t]时间发生的时刻服从均匀分布。这个结论推广到多个随机事件也是成立的，即：在[0,t]时间内只发生n次随机事件的条件下，相应的n个随机事件在[0,t]时间发生的时刻是独立的且服从[0,t]上的均匀分布。 利用这个结论，我们对命题2给出一个直观的解释：在[0,t]时间内只发生n次随机事件的条件下，每个随机事件[0,u]发生的概率为u/t，因此最后的分布是参数(n,u/t)的二项分布。

六、总结

从上述几个命题中，我们可以看到泊松过程与常见的泊松分布，二项分布，指数分布和均匀分布有广泛的联系，这个客观上确保了泊松过程的在随机过程中的重要性。借此讨论，希望能帮本科学生加深对泊松过程的理解，为进一步学习和应用奠定基础。

参考文献

[1] 张波，张景肖，应用随机过程[M].北京： 清华大学出版社，2004.

[2] Karlin, K.，Taylor, H.M.著，庄兴无等译， 随机过程初级教程（第二版）[M].北京：人民邮电出版社，2007.