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函数在物理上的运用
作 者：徐培培
（东营市胜利第一中学，山东 东营 257000）
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借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。函数思想作为高中数学几大重要思想之一,在高中物理解题中具有十分重要的作用,学生熟练利用函数思想进行物理学科的学习,有利于提高物理学科的学习效率,并且函数能深层地蕴含一些物理特征或意义，并具有验证探索功能。下面重点对函数思想在高中物理解题中的应用策略进行探究,希望能够对大家有所借鉴。先总结下除了三角函数外其他函数的运用，然后重点强调下三角函数的运用。 一、一次函数的运用：一次函数我们做题时经常遇到的，它的图像点、线、面积、斜率和截距往往蕴藏着丰富的物理条件。另外我们还经常通过数学式子的变形把表面上看起来不是一次函数的式子转化成一次的，这样就往往可以把题目中很难解决的问题轻而易举的解决了。
二、抛物线、均值不等式：一元二次方程也是我们解题时经常遇到的，它常用来求范围或极值。遇到这类问题大家要多想想它。有些可以用一元二次方程求极值的也可以用均值不等式，还可以求导。
三、双曲线：双曲线有很多自己独特的性质，比如双曲线上的点到两个焦点的距离差是定值。把它的性质与具体的物理情景对照就可得到正确答案，比如下面例题选B.
例.如图所示，在双曲线■-■=1的两个焦点F1和F2上放置两个频率相同的波源，它们激起的波的波长为4cm就图中A，B，C，D四个质点的振动，下面说法中正确的是（ ）
A. 若A，B振动加强，则C，D振动一定减弱
B. 若A，B振动加强，则C，D一定振动加强
C. A，B，C，D一定振动加强 D. A，B，C，D一定振动减弱
四、圆、椭圆。圆的几何性质在磁场中用的比较多，下面例1主要用了圆的公式，选B.而例2把椭圆与简谐运动联系起来了，此题里面的物理与数学思维完美结合，值得欣赏。例2中的v﹣x图是椭圆。
例1.如图，半径为R=2m的四分之一圆轨道和直径为2m的半网轨道水平相切于d点，两圆轨道均光滑且在竖直平而内，可视为质点的小球从d点以某一初速度向左进入半圆轨道，刚好能通过半圆轨道的最高点a，从a点飞出后落在四分之一圆轨道上的b点，不计空气阻力，g取10m/s2则b点与d点的竖直高度差为（ ）
A. 3m B.（3-■）m C. 5m D.（3+■）m
例2.如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接，小球的质量为m，小球静止于O点。现将小球拉到O点下方距离为A的位置，由静止释放，此后运动过程中始终未超过弹簧的弹性限度。规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点。以平衡位置O为坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系Ox．忽略空气阻力的影响。
（1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题：
a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量s；
b．证明小球做简谐运动；
（2）从教科书中我们明白了由v﹣t图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能的学习，我们理解了重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系。图象法和比较法是研究物理问题的重要方法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题：
a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为x时，证明系统具有的重力势能EpG和弹性势能Ep弹的总和Ep的表达式为Ep＝■kx■；
b．求小球在振动过程中，运动到平衡位置O点下方距离为■时的动能Ek．并根据小球运动过程中速度v与相对平衡位置的位移x的关系式，画出小球运动的全过程中速度随振动位移变化的v﹣x图象。
五、反比例函数
例.粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，且沿x轴方向的电势φ与坐标值x的关系如图所示，即φ-x图象是一条反比例函数图线．现有一质量为0.10kg、电荷量1.0×10■C为带正电荷的滑块可视为点电荷沿着x轴运动，滑块与水平面的动摩擦因数为0.20，重力加速度g=10m/s2．
（1）根据图象给出的信息，写出电势φ与x的函数关系表达式；
（2）若将滑块无初速度地放在x=0.10m处，求滑块最终停止在何处？
六、等比数列、等差数列、对数
例1. 如图所示，一质量为m、比荷为■=5.0×10■C/kg的带正电小球A静止在足够大的光滑绝缘水平面上的O点，一质量为2m不带电的绝缘小球B静止在O点右侧，A、B相距L=0.10m。在O右侧区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=1.0×10■N/C；现释放小球A，A向右运动与B发生弹性正撞，运动和碰撞过程中A球的电荷量保持不变，重力加速度g=10m/s2，求：(结果可用分数表示)
（1）第一次碰撞后，A到O的最小距离；（2）第二次碰撞后瞬间A、B的速度vA2和vB2；
（3）若A、B两球在O点右侧P处恰好发生第10次碰撞，求OP的距离。
例2.一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零，这些离子经过加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已知放置底片区域已知放置底片的区域MN =L，且OM =L。某次测量发现MN中左侧■区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧■区域QN仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到。
（1）求原本打在MN中点P的离子质量m；
（2）为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围；
（3）为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数。（取lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699）
七、三角函数的应用：三角函数在物理学中的应用最为广泛。对于三角函数的公式大家在数学上已经运用非常细致可自行总结下。三角函数可以帮我们解决一些实际问题比如一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，如何设计房顶的坡度较好，还可以验证同学们解题时的一些疑惑，比如求带等量同种正电荷Q的中垂线上的电场强度的最大值的位置。
在做题时我们还会用到一些其他的数学思想比如微元法等。我们所列举的例子是做题时比较常见的，其实只要你学过的数学知识都可以运用到物理上来。 抛砖引玉是我们的目标，这样大家在解决物理问题尤其是压轴题时就会柳暗花明又一村。
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