刘向 齐凯 刘法胜*
2010 数学分类:11M06; 11M26; 11H05.
摘 要：通过theta-series给出Riemann zeta函数一种解析延拓，利用分部积分得到其虚部和实部之间的一种函数关系，融合应用分部积分法和第二积分中值定理广义积分形式，以期推得Riemann zeta函数零点均落在实部为1/2的临界线上。如此，Riemann猜想(RH)真，所有与Riemann猜想等价的命题及以Riemann假设为前提条件的结论都成立。
Abstract：Using the properties of the integrate form for the analytic Riemann zeta function given by theta-series method, a relation between the real part and imagine part of Riemann zeta function is obtained by partial integration method. And the second integration mean value theorem mixed together with partial integration method is applied in the function relation, the real part of the zeros of Riemann zeta function all lies on the critical line and an attempt proof for Riemann hypothesis (RH) is directly presented. Then ,from now on RH becomes Riemann Theorem (RT) and all its equivalent results and the results under the RH become true.
关键词：积分第二中值定理；Jacobi函数方程；姊妹方程；非平凡零点；Riemann猜想(RH)
Keywords：Second integration mean-value theorem； Jacobi functional equation；sisters' equations；nontrivial zeros；Riemann hypothesis (RH)
1、引言
Riemann 猜想（RH）源于 Dirichlet 级数函数， ζ（s）=■■
Res＞1 （1.1）
文献[1]和[2]列出了有关Riemann猜想的重大历史事件。1737年，Euler研究了实数情形，给出了著名的乘积公式，即对所有的大于1的实数s，有ζ（s）=■■=■(1-p-s)-1
（1.2）
其中，公式中的 n 遍及自然数，p 遍及所有素数。Euler乘法公式建立了自然数加法运算和素数乘积运算之间的一种联系,或者说建立起了自然数和素数分布之间的密切联系。某种意义上可以说，（1.2）是算数基本定理、即整数唯一分解定理的一种表达形式。
特别，Euler得到：ζ（2）=■■=■(1-p-2)-1=π2/6
1792年，Guass提出了后来被称为素数定理的结论。1859年，Riemann在他那篇著名的论文[3]中，将（1.1）解析延拓到除s=1外的整个复平面上，被称之为Riemannζ函数，并提出了著名的Riemann 猜想（RH）：Riemannζ函数的所有非平凡有零点都在临界线 Res=1/2上。
由Euler乘积公式（1.2）可以得到Riemann ζ函数在Res＞1 的区域内没有零点。1896年，Hadamard 和Poussion 分别独立证明了素数定理。素数定理等价于Riemann ζ 函数在Res=1 上没有零点。
1914年，丹麦数学家Bohr与德国数学家Landau证明了包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了Riemann ζ函数的几乎所有非平凡零点。同一年，英国数学家Hardy证明了Riemann ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上[5]。
1942年，挪威数学家Selberg证明了有正百分比的非平凡零点在临界线上。1974年，美国数学家Levinson证明了至少有34%的零点位于临界线上。直到1989年，美国数学家Conrey证明了至少有40%的零点位于临界线上[5、6、7]，这是目前公认的有关Riemann猜想的最好结果。
RH之所以重要，是因为RH有诸多重要等价命题及以其作为假设而成立的重要结论，文献[2]中给出了32个重要等价命题；李修贤2012年在学位论文“Riemann猜想与素数分布”中专门罗列了34个与Riemann猜想等价结论[4]。RH的各种等价命题和基于RH下而成立的结论使人们有理由相信RH的正确性，人们更愿意称Riemann猜想为Riemann假设。
关于数值计算验证或曰试图举出反例的工作，极大促进了RH的相关研究。1932年，数学家Siegel从Riemann的手稿中获得了重大发现——计算Riemannζ函数非平凡零点的方法，即Riemann—Siegel公式。至1969年，350万个零点得到验证，全部位于临界线上，无疑大大增强了数学家们对RH的信心。
到2004年，Gourdon用计算机验证，Riemann ζ函数的前10的13次方个零点都落在RH的临界线上。现在早已突破了十多万亿个零点的计算大关，并且新记录与日俱增。
Riemann 猜想的提出已经过去一百六十年，由于问题本身的重要性，人们尝试了包括物理方法在内各种途径，然而，猜想是否成立，一直未得到肯定。RH被公认为是“外行不懂，专家证明不了的世界难题[2]。
Riemann于那篇提出了RH的著名论文“论小于给定数的素数分布”[3]中自然已经意识到猜想是成立的，特别，他还指出了Riemannξ函数关于Re(s)=1/2是偶函数的结论。令人惋惜的是Riemann提出RH七年后，就撒手人寰。考察提出RH的原始论文[3]发现，Riemann通过Jacobi函数方程，给出了Riemannξ 函数的解析延拓表达（[3]，[5]P21）。Edwards [6], A. A. Karatsuba [7] 对用theta级数函数和Jacobi 函数方程处理Riemannξ 函数解析延拓均有论述。Jacobi 函数方程与Riemann ζ函数关系密切，前者反映的是theta 级数函数在原点的值与无穷原点函数值之间的对应关系，后者则表现为Riemann ζ函数零点与素数分布之间的联系。Riemann 本人原意就是要去证明RH，只是未能如愿，才以猜想的形式给出了著名的RH。倘若，Riemann 当时就沿着此路给出RH之证明，或者后来人及时补上其证明，或许RH不会如此出名。
后来，RH的诸多重要等价问题和基于RH的重要结果进一步凸显了RH的重要性，而等价问题的难以证明，则说明，除了Riemann 当初猜想的基于Jacobi变换的思路外，还没有发现有效的证明RH的特别思路和其他好方法。
许多数学工作者试图证明Riemann猜想，也有许多人声称证明了Riemann 猜想，还有研究认为Riemann后来在其手稿中已经证明了RH，但均未得到权威认可[9]。[10]、[11]试图利用Jacobi变换和Schwarz 反射原理证明RH,由于只用了虚部方程，和ξ（S）=0 ξ（■）=0 ，推理条件不充分，证明也是不完整的，许多专家通过邮件予以质疑和指正，对此，作者再次表示感谢。文献[12]试图对含复变参数被积函数直接应用积分第二中值定理以期证明RH, 缺少理论依据，难以进行分析。
现在可以说，企图证明RH的逼近思路和具体零点计算，只是增大了RH成立的可能性，实际推动了Riemann猜想证明之进展，但并没有提供可以证明RH的有效途径。
源于连续函数介值定理的实数函数的第二积分中值定理可以有诸多变形，通常作为用来消除积分符号而对被积函数进行细致分析的工具。选择合适变换应用于Riemann zeta函数，在一般解析函数实部、虚部满足C-R方程关系基础上，建立Riemann Zeta函数实部和虚部之间的特殊函数联系，通过恰当的被积乘积函数的因子分解，应用广义积分第二中值定理，是寻找证明RH的直接有效分析途径。
本文安排如下：
第二部分是有关实分析和复分析引理，给出以Theta 级数表达的Riemannζ函数解析延拓;第三部分通过建立黎曼Zeta函数的实部和虚部之间的函数联系，应用第二积分中值定理，得到Riemannζ函数零点的必要条件;接着是零点计算实例；最后部分是结论和注记。
2.有关引理
由于RH起源于Dirichlet级数函数的解析延拓，而基于Theta 级数表达的Riemannζ函数解析延拓用到著名的Jacobi函数方程关系，为了本文的完整性和可读性这里我们以引理形式给出该既有结果[5]。
引理2.1
θ(x-1)=■θ(x) (2.1)
2ω(x)+1=x-■ (2ω(x-1)+1) (2.2)
其中 θ(x)=■exp(-n2πx)
ω(x)=■exp-(n2πx) x＞0
证明见[5] P5-8，也可参考[8]P188给出的另一证明。
引理2.2 下述函数是Dirichlet 级数函数在复平面上除s=1外的解析延拓。
A(s)=πs/2Г-1(■)(■+■ω(x)(x■+x■)■） （2.3）
满足 Res＞1 时， A(s)=ζ(s)
其中，ω(x)=■exp-(n2πx) x＞0
ζ(s)=■■
鉴于该引理在RH中的基础重要性，我们这里给出其证明之一（参见：[5]P8-11）
往证 π-■Г(■) A(s)=■+■ω(x)(x■+x■)■
即当Res≤1 ;s≠1上式有意义；当 Res＞1，有
π-■Г(■) ξ(s)=■+■ω(x)(x■+x■)■
其中ω(x)=■exp-(n2πx) x＞0
我们用广义参数积分表示Gamma函数,对于Res＞1 和自然数n，Г(■)=■e-uus/2-1du=ns■e-πn2xπs/2x■■
(这里作u=πn2 x变量替换). 结果有,
π-■Г(■)ns=■e-πn2xπs/2x■■
先假设Res＞1 ，等式两边对所有n作和得
π-■Г(■)ξ(s)=■■e-πn2xxs/2-1dx
改变作和（■ ）与积分（■ ）之顺序（绝对收敛可以改变顺序），我们有π-■Г(■)ξ(s)=■ω(x)xs/2-1dx
π-■Г(■)ξ(s)=■ω(x)xs/2-1dx=■ω(x)xs/2-1+■ω(x)xs/2-1dx
=■ω(y-1)y-s/2+1(-■)+■ω(x)xs/2-1dx=■(ω(x-1)x-s/2+ω(x)xs/2)■
（2.4）
表达式(2.4)虽然非常对称，遗憾的是由于积分在 Res≤1时不收敛，故不能作为复平面上的Riemann zeta函数的解析延拓。
利用Jacobi方程（2.2）式,得：
■ω(x)xs/2-1dx=■ω(x)xs/2■=■[ω(x-1)x-1/2+■-■]xs/2■
=■ω(x-1)xs/2-1/2■+■-■=■ω(x-1)xs/2-1/2■+■
由于ω(x)=■exp-n2πx=0(e -πx) x→∞
对于任意K，作为复参数变量s的函数，上述广义积分在Res＞k 绝对一致收敛。
做x→x-1 积分变量替换于上述积分中，我们有
π-■Г(■)ξ(s)=■ω(x)xs/2-1dx=■ω(x)xs/2-1+■ω(x)xs/2-1dx
=■(ω(x-1)x-s/2-1+ω(x)xs/2-1)dx=■+■ω(x)(xs/2-1+x-s/2-1/2)dx
（2.5）
虽然上述关系（2.5）是在Res＞1 的条件下得出的，由于
ω(x)=■exp-n2πx=0(e -πx) as x→∞ （2.5）等式右端积分对所有s有定义,该式给出了Dirichlet 级数函数（1.1）在整个复平面上（奇点1除外）的解析延拓显表达式。我们记之为
A(s)=π■Г-1(■)(■+■ω(x)(x■+x■)■）
当 Res＞1时， A(s)=ζ(s)
至此，解析延拓后的Riemannζ函数是整个复平面上除了简单极点1（其留数为1）以外上的解析函数。
尽管对Dirichlet 级数函数，有多种解析延拓方法和形式，由于解析延拓唯一性定理，它们本质上是等价的。不同的解析延拓方式会有不同的方便之处，基于theta函数级数和Jacobi方程，将Dirichlet 级数函数解析延拓为上述积分形式更方便于进行分析。
现在，我们可以在复平面上考虑的Riemannζ函数零点了。人们对其零点感兴趣，是因为它们包含着素数的信息，这点从Euler乘积公式可见端倪。然而，人们并非对Riemannζ函数的所有零点都感兴趣，所有实部在区间 [0，1]外的平凡零点不在RH陈述之内。
在讨论其非平凡零点之前，我们先给出一个Riemannζ函数的方程。注意到在A(s) 的 ■和广义积分项中，把 s与1-s 作替换，等式保持成立。因此，有函数方程:
ζ(s)=■s(s-1)π-■Г(■)A(s)
ζ(s)=ζ(1-s)
满足函数方程ζ(s)=ζ(1-s) 不足以确立该函数，也已经找到满足类似于Riemann Zeta函数方程而Riemann猜想不成立的实例[5]。
记ζ(s)=■s(s-1)π-■Г(■)A(s)=■+
■(s-1)s■ω(x)(x■+x■)■
（2.6）
Riemann 猜想（RH）是说 函数的所有零点都落在Res=1/2 的临界直线上。
RH：ζ(s)=0 →Res=σ=1/2
由于所有的Riemann Zeta函数的非平凡零点关于直线,
Res=σ=1/2
对称，且ζ(0)=ζ(1)=1/2 ，并且，我们已经知道，对于任意t ,1+it不可能成为Riemannζ函数的非平凡零点[5]。因此，要证明RH猜想，我们只需要证明在0＜Res＜1 的带型区域内，RH成立即可。
由（2.7）
ζ(s)=0 ■ φ(s)=■+■ω(x)(x■+x■)■=0 （2.7）
RH此时可以叙述为： 0＜Res＜1 ;φ(s)=0 → Res=1/2
我们知道，积分第二中值定理是较第一积分中值定理更为精细的分析工具，可以帮助我们去掉积分符号而对被积函数直接进行分析。这里，我们以引理形式给出实分析的积分第二中值定理，以备分析Riemann zeta 函数零点。
引理 2.3. （广义积分第二中值定理）
函数f(x) 在区间 [a,b]上可积， g(x)在[a,b] 上单调连续，那么在 [a,b]上有一内点c，使得：
■f(x)g（x）dx=g（a）■f(x)dx+g（b）■f(x)dx (2.8)
该定理可以推广到无穷积分，如果g（x） 在 [a,∞)上单调连续，且 g（∞）=0，则有■f(x)g（x）dx=g（a）■f(x)dx （2.9）
证明可见标准数学分析教科书。
应用第二积分中值定理的关键是分解函数乘积的因子，不同的分解会得到不同的形式。下面我们应用第二积分中值定理于Riemann Zeta函数的实部和虚部，分析Riemann Zeta函数零点的必要条件。
3. Riemann Zeta函数实部与虚部的函数关系及其零点分析
为分析Riemann Zeta函数的零点条件，分别求解该函数的实部和虚部。
0＜Res＜1，ζ(s)=0 φ(s)=0 等价于姊妹方程：
Reφ(s)=u(σ,t)=0 Imφ(s)=v(σ,t)=0
关于φ(s) 实部和虚部，我们有：
定理3.1 s=σ+it 0＜σ＜1，则
u(σ,t)=■（ω(x)-■x-■）(x■+x■)cos(■t)■
v(σ,t)=■（ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)■ （3.1）
二者之间，除了满足一般解析函数的CR（柯西黎曼方程）外还有以下函数关系成立：
v(σ,t)=■■[（ω(x)-■x-■）'(x■-x■)dx-■(ω(x)-■x-■ )x■cos(■t)■+■u(σ,t) （3.2）当姊妹方程满足时有：
■[■（ω(x)-■x-■）'x-■(ω(x)-■x-■ )](x■ -x■)cos(■t)■=0
证明：
由引理2.2的(2.5)和复数指数函数变换关系
ex+iy=ex(cosy+isiny)
可得（3.1）。
以下证明（3.2）.
v(σ,t)=■（ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)■
即v(σ,t)=■-(w(x)-■x-■）(x■-x■)■dcos(■t)
由分部积分得
v(σ,t)=0+■■[(ω(x)-■x-■）(x■-x■)]'cos(■t)dx
v(σ,t)=■■[(w(x)-■x-■）'(x■-x■)+(w(x)-■x-■）(x■-x■)']cos(■t)dx
展开上式中第二项得：
v(σ,t)=■■[(ω(x)-■x-■）'(x■-x■)+■(ω(x)-■x-■）(x■+x■ -■x■)]cos(■t)■
得其实部与虚部之间的函数关系为：
v(σ,t)=■[■(ω(x)-■x-■）'(x■-x■)x-■(ω(x)-■x-■）x■cos(■t)]■+■u(σ,t) (3.4)
若 s=σ+it
为Riemann zeta 函数非平凡零点，则有：
v(σ,t)=■(ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)■=0
■(ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)■=
■■(ω(x)-■x-■）'(x■-x■)+■(ω(x)-■x-■）x■]cos(■t)■=0
(3.5)
(3.4)与（3.5）相加得：
2v(σ,t)=■[■(ω(x)-■x-■）'x+■(ω(x)-■x-■)](x■-x■)cos(■t)■ =0 （3.6）
因为 s=σ+it为Riemann zeta 函数非平凡零点，且对于任意的t≠0 ，
■[4x(ω(x)-■x-■）'+(ω(x)-■x-■)](x■-x■)]cos(■t)■ =0 (3.7)
利用上述函数积分关系(3.3)，应用广义积分第二中值定理，可以较为清晰分析Riemann Zeta函数非平凡零点。
定理3.2. Riemann 猜想（RH）成立。
证明:若s=σ+it 为Riemann zeta 函数非平凡零点，由(3.6)和（3.7），对于任意的参数组合 (α,β)，
■α(ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)■ +
β■■[x(ω(x)-■x-■）'+■(ω(x)-■x-■ ) 对上述积分被积函数相同因子(x■-x■ )进行因式分解，
(x■-x■ )=(x■-x■ )(x■+x■ )
取 g(x)=(x■+x■ )/x■=(x■+x■)/x
f1(x)=(ω(x)-■x-■）x■(x■-x■ )sin(■t)
f2(x)=[2x■(ω(x)-■x-■）'+■x■(ω(x)-■x-■)](x■-x■)cos(■t)
此时，应用广义第二积分中值定理于上述积分，得：
■g(x)[f2(x)-f1(x)]dx=0
因为s=σ+it 是非平凡零点，故对应的参数积分必然有
■g(x)f2(x)dx=■g(x)f1(x)dx=0
注意到：
G(x)=■g(x)dx=■x■-■x-■
■G'(x)[f1(x)-f2(x)]dx=0
将分部积分法和积分第二中值定理融合应用于上述积分，得：
■G'(x)[f1(x)-f2(x)]dx=■(■x■-■x-■)'[(ω(x)-■x-■）(x■-x■)sin(■t)-[4x(ω(x)-■x-■）'＋x■(ω(x)-■x-■）](x■-x■)cos(■t)]■
■G(x)'[f1(x)-f2(x)]dx=0-■(■x■-■x-■)[f1(x)-f2(x)]'dx
存在c (σ,t)＞1，使得：
■G(x)[f1(x)-f2(x)]'dx=-G(1)■[f1(x)-f2(x)]'dx
■G(x)f1(x)'dx=■G(x)f2(x)'dx=0
又f1(1)=f2(1)=0
所以■G(x)[f1(x)-f2(x)]'dx=G(1)[f2(c (σ,t))-f1(c (σ,t))]=0
即： f1(c (σ,t))=f2(c (σ,t))=0
(ω(c)-■c-■)(c■-c■)sin(■t)■=0
■c■(ω(c)-■c-■)'+■c■(ω(c)-■c-■)](c■-c■)cos(■t)=0
注意到(ω(c)-■c-■)≠0
■c■(ω(c)-■c-■)'+■c■(ω(c)-■c-■)≠0
事实上,
2c(ω(c)-■c-■)' + (ω(c)-■c-■) = 2cω(c)'+ω(c)＜0
故有(c■-c■)sin(■t)=0
(c■-c■)cos(■t)=0
即 (c■-c■)2=0 σ=■
故RH成立： φ(S)=0 ■ ξ(S)=0必有Re(s)=σ=1/2 。证毕。
4．黎曼zeta-函数零点充分必要条件与计算
由Riemann Zeta函数零点的必要条件, Riemann ξ(S) 的非平凡零点的虚部值可以通过下述方程求解。
φ(t)=■■ω(x)x■cos(■lnx)■ -1=0 (4.1)
其中 ω(x)=■exp(-n2πx)
则满足f(t)=0的实数t即为Riemannξ(s)的非平凡零点的虚部值。故，黎曼zeta-函数零点s=σ+it 的充分必要条件是
σ=1/2 φ(t)=0
通过 matlab进行数值计算，容易给出Riemann 的非平凡零点的虚部值函数零点范围。
径简单计算得到，Riemann Zeta函数的前10个零点范围是：
1/2±(14,14.5)i 1/2±(21,21.5)i 1/2±(25,25.5)i 1/2±(30,30.5)i 1/2±(32.5,33)i 1/2±(37.5,38)i 1/2±(40.5,41)i 1/2±(43,43.5)i 1/2±(48,48.5)i 1/2±(49.5,50)i 与既有实际结果相吻合[1]。
上述实例辅助定理3.2以说明函数（4.1）包含了全部素数分布信息，素数分布性质可以通过研究该函数的零点分布得到。
5、小结
1）引理2.1 深刻反映了theta 级数函数原点函数值和无穷远处函数值之间的对应关系；通过(2.6),Riemann猜想等价于
ξ(S)=0 ■ φ(S)=0 → Res=σ=1/2
即 Res=σ=1/2是其必要条件。
2）.无穷参变积分第二中值定理是函数参数分析中去掉积分符号的重要工具，而积函数因子分解及其之间的变型使其应用内涵丰富，融合应用分部积分和第二中值定理以便于分析零点条件。
3）本文为RH等价性问题的证明和分析提供了一种新的途径；所有素数分布的信息均蕴含在一个特殊的实函数之（4.1）中。
参考文献
[1]卢昌海 黎曼猜想漫谈 清华大学出版社 2012.
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[7]E.C.Titchmarsh The Theory of The Riemann Zeta-Function. Clarendon Press. Oxford.
[8]Graham Everest An Introduction to Number Theory 科学出版社 2011.
[9]NIANRONG FENG, YONGZHENG WANG, AND RUIXIN WU. ALL OF ZEROS OF RIEMANN’S ZETA-FUNCTION ARE ON σ = 1/2. http:// arXiv：org/abs/1508.02932v5.
[10]Liu, X. Ekaterina, R. and Liu, F. (2016) A Direct Proof for Riemann Hypothesis Based on Jacobi Functional Equation and Schwarz Reflection Principle. Advances in Pure Mathematics, 6, 193-200. doi: 10.4236/apm.2016.64016.
[11]刘法胜 Jacobi函数方程与Riemann ξ(s)函数零点 山东科技大学学报 2016, v.35;No.162(01) 97-101.
[12]Wünsche, A. (2017) Correction and Supplement to Approach for a Proof of Riemann Hypothesis by Second Mean-Value Theorem. Advances in Pure Mathematics, 7, 263-276. doi: 10.4236/apm.2017.73013.
致谢：感谢英国G.J.O. Jameson 教授,德国Don Zagier 教授和原国际数学学会主席Lennart Carleson教授的邮件交流和有益启发。
