浅谈如何用函数思想指导高中数学解题研究

随着数学教育的进步，高中数学教学不断的改革，在长期的发展中，教学思路和教学方法在不断完善。函数思想在高中数学中是一项非常重要的思想，在不同类型的题目解答中都发挥非常重要的作用，可以帮助学生解答实际问题。

一、数学思想和函数思想的理解

（一）数学思想

数学思想是对数学方法进行操纵，是数学方法的灵魂，通过各类数学方法的应用，获得解题思路，也可以对数学进行创造，完善数学的实际应用，提升学生的数学能力。数学思想对教师的教学和学生的学习都有着深刻的指导意义，其可以将知识转化成学生实际的能力，提升学生的数学素养，使学生形成良好的认知结构，并提升学生的数学意识。

（二）函数思想

函数是对自然界中量的关系进行描述的一种方法，分析一个事物变化对另一个事物产生的影响，并对事物之间的规律进行总结。函数思想是数学语言的精髓，通过对函数关系的构造，可以解决函数问题。在进行函数思想应用中，要结合变化和动态的观点，通过集合中的对应关系分析，建立数学问题中的数量关系，然后构造函数。通过函数图像和性质去分析实际问题，解决实际问题。在高中数学解题中，一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、幂函数等都涉及函数的性质，学生在解题中要充分了解函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。才能在方程、不等式和数列问题分析中，灵活运用函数思想。在函数思想应有的同时也会结合方程，在对变量之间的制约关系分析中，可以列出方程组，从而可以求得各个变量的值。通过未知数的设计，可以找到变量之间的关系，对未知量和已知量之间的关系进行分析。通过函数思想的应用，可以建立方程组，将方程看作是函数关系，把函数和方程思想进行互相转化应用来解决数学问题。

二、高中数学解题中函数思想的应用意义

在数学问题解决中通过函数思想的应用，可以将其他形式的数学问题进行转化，通过应用函数的性质，从整体角度出发，解决一些抽象的问题。在数学这门学科的学习中，函数思想非常重要，是高中数学的重要指导思想。在高中数学教学中，处处都渗透着函数思想。所以，在高中数学教学中，教师将函数思想传授给学生，可以提升学生的解题效率。学生在遇到困难时，可以转化思想，将复杂的问题简单化，激发学生学习数学的兴趣，帮助学生掌握各类解题技巧，提升学生的数学解题能力。

三、高中数学解题中函数思想的应用

（一）利用函数思想解决方程问题

在数学这门学科的学习中，方程和函数之间的联系非常密切，在函数中渗透着方程的知识，方程也是函数的构成。通过函数和方程的结合，渗透函数思想，可以帮助学生发现解题的突破口，提升解题的准确性和效率。例如在方程(p-m)(p-n)=3，已知方程有两个根，但是两个根分布不同，两根分别为A和B，已知m＞n，B＞A，分析m，n，A和B的大小关系。这道题目如果仅仅采用方程的思维，难度非常大。如果将函数思想应用其中，就可以形成函数f(p)=(p-m)(p-n)-3和函数g(p)=(p-m)(p-n)。将这两个函数在直角坐标系中用图像表示，通过观察图像就能得出答案。在对方程问题分析中，学生可以将方程问题转化成函数思想，从而调整自己解题的思维方式，可以快速的得出答案。

（二）运用函数解决不等式问题

函数可以对两个变量之间的关系进行分析，在解答不等式问题中，借助函数可以从整体的角度出发，分析两个变量之间的关系。在数学解题中不等式也是函数的一种，所以在不等式问题探究中，可以充分结合函数思想。例如在锐角三角形MPN中，三角形的三个角分别是M角，P角和N角，证明三个角的余弦值的和三个角的正弦值的大小。此时可以结合函数思想，将三个锐角与三角函数结合，从而可以得出结论。

（三）函数思想在最优化问题中的应用

在高中数学解题中，非常注重学生的应用能力。在现实生活中，通过各类策略，采取合适的方法，取得最好的效果，是人们亟须思考的问题。在数学这门学科中，通过最优化问题分析，可以达到此目的。在进行最优化问题分析环节中，学生应该认真阅读题目，对题目中的数据和信息进行分析，分析题目中隐含的数量关系，然后找出题目中的变量。在题目中选择合适的因数，然后通过建立函数模型的方式进行分析。在最优化问题解决中，经常采用函数思想，在函数关系式明确后，结合函数的性质，找到最终的答案。例如，在材料的节省问题上，就可以借助函数思想。在分析销售最大利润和节约工作时间问题上，都可以充分采用函数思想。

（四）用函数思想解决数列问题

在高中数学中，数列知识是重点，数列也是函数的一种形式。数列在自变量确定的基础上，可以分析离散数值函数。通过通项公式的分析，可以写出函数的解析式。所以，在数列问题的解答中，可以借助函数思想，引导学生解决数列问题，掌握数列的性质和规律。

（五）函数思想在三角函数中的应用

三角函数问题解答中，常常采用函数思想。如y=1-sin2x-mcosx的最小值为-4，求m的值。在这道三角函数题目解答过程中，应该结合一元二次函数。建立函数y=1-sin2x-mcosx=cos2x-mcosx，通过绘制函数图像，找到函数的对称轴，从而可以求得m的值。

结语

函数思想在高中数学解题中发挥非常重要的作用，高中数学知识非常复杂。高中生在解题中如果不具备一定的数学思维，容易产生误区。通过函数思想的应用，可以降低解题难度，提升解题效率。

参考文献

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