纵观近几年的各地高考数学试卷,几乎已经形成了这样的定式:文科试卷的最后一题是圆锥曲线问题,理科试题的倒数第二题是圆锥曲线问题;所以圆锥曲线是数学高考的难点之一．而有关弦的问题又是圆锥曲线中最常见的情景，也是高考命题的常用素材和热点问题．本文就圆锥曲线的“中点弦”问题进行相关的研究，这类问题，虽然可以从设弦的直线方程解决，但是由于方程含参数且联立方程等运算比较复杂，进而不易解决，经过思考可以发现这些问题从弦的中点出发可以更为的简单和有效的解题，为什么呢？先来看两个引理。
设圆锥曲线与直线l相交与A、B 两点，其中C为AB线段的中点，即 C被称为弦的中点,设A（x1,y1） ,B(x2,y2),C(x0 ,y0)。
引理1：弦的中点 C的坐标(x0 ,y0) 可以表示弦 AB所在的直线方程（C不为原点）。
注：1. C为原点时，由于标准位置上的椭圆与双曲线的对称性，弦AB 是过原点且与曲线相交的任意一条直线并且有无数多条。
2.在C 不为原点时，弦AB 所在的直线方程为：
当直线l 的斜率不存在，即x1=x2 时 ，弦AB 所在的直线方程为x=x0
当直线l 的斜率存在，即x1≠x2 时，分圆锥曲线类型有以下的结论：
①椭圆（设其方程为 mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n））
此时，弦AB 所在的直线方程为 y-y0=■(x-x0)
②双曲线（设其方程为 ）mx2+ny2=1（mn＜0）
此时，弦AB 所在的直线方程为 y-y0=■(x-x0)
③抛物线（分焦点在 x与y 轴上，设其方程为y2=2ax 与x2=2ay (a≠0）
此时，弦 AB所在的直线方程分别为y-y0=■(x-x0) 与
y-y0=■(x-x0) ,对于抛物线更为特殊的是弦AB 的斜率只用弦 AB中点的横坐标或纵坐标就可以表示.
证明(以椭圆为例):由于点A，B 是椭圆mx2+ny2=1与直线 l的交点，即点 A,B在椭圆上，故有：mx12+ny12=1，mx22+ny22=1则两式相减得：
mx12+ny12-(mx22+ny22)=0 m( x12-x22)+n(y12-y22)=0
n(y12-y22)=-m( x12-x22) ■ n(y1-y2)(y1+y2)=-m(x1-x2)(x1+x2)……（1）
当直线l的斜率不存在，即x1=x2 时 ，弦AB所在的直线方程为x1=x0
当直线l 的斜率存在，即x1≠x2 时，又由于C不为原点，故y1+y2≠0 ，则（1）整理可得：
■=■ ■ ■= ■，即 kl=■
又由于点C为弦AB 的中点，即点C在弦 AB所在的直线上，故弦 AB所在的直线方程为y-y0=■(x-x0) ，证毕。
证明过程采用常见的点差法，但值得注意的是中点也在弦所在的直线上，这点虽然明显，但是很容易忽略。此外，中点 C(x0,y0）需要满足一定的条件，尤其对于椭圆和抛物线，中点C(x0,y0） 须在椭圆内和抛物线开口内，这点在有些题目中是解题的关键。
引理2：弦的中点 C的坐标(x0,y0）可以表示弦AB中垂线所在直线方程（C不为原点）。
关于此定理的证明，在引理一的条件下，我们很容易写出垂线的斜率，又由弦AB的中垂线也经过C(x0,y0）易得弦AB中垂线所在直线方程。但是在运用过程中注意中垂线斜率不存在的情况，即弦AB所在直线斜率为0。下面列举两个高考题来展示这两个引理的应用。
例1．（2013年北京文19）直线y=kx+m （m≠0） W： ■+y2=1相交于A ，C 两点， O是坐标原点
(1)当点B 的坐标为(0,1) ，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。
(2)当点B在W上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。
法1(参考答案):解（1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设 A(t,■)，代入椭圆方程得■+■=1 ，即t=± ■. 所以|AC|= 2■.
（2）假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W 的顶点，且AC⊥OB,所以k≠0 .
由x2+4y2=4y=kx+m ，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A (x1,y1),C(x2,y2) ，则■=-■,■=k·■ +m=■，
所以AC的中点为M（■ ， ■）.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0 ，k≠0 ，所以直线OB的斜率为 -■.
因为 k，(-■)≠-1，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.
法二.从弦 的中点利用引理解决问题2
解:(2)假设四边形OABC为菱形，设B 点的坐标为(xB,yB) ,由于 B点在W上且不是W 的顶点，故xB≠0 ，yB≠0 .因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分,故k0B ·kAC=-1且点B (xB,yB),
O(0,0)的中点(■,■) 也是AC 的中点,则kOB=■ ,由于点A,C为椭圆W上的点，故由引理1得
kAC=-■ ,则k0B ·kAC =■·(-■)=-■不符合k0B ·kAC=-1 ，故当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。
例2(2013湖南卷 21)过抛物线 E: x2=2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1,k2 的两条不同的直线l1 ，l2且k1+k2 =2， l1与E相交于点A，B， l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为 l。
(1)若 k1＞0，k2＞0,证明；■·■＜2p2
(2)若点M到直线l 的距离的最小值为■ ，求抛物线E的方程。
法2.(1)由题可得,焦点 F(0,■)且M,N分别为线段 AB,CD的中点,设点 A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),且线段AB,CD 的中点分别为 (x1,y1),(x2,y2)即M(x1,y1),N(x2,y2) .则由引理1得: k1=■,k2=■，由于k1+k2=2 且 k1＞0 ，k2＞0 ■ x1+x2=2 且 x1＞0 ，x2＞0又由于点F， M都在直线l1 上,且点F,N 在直线 l2上,
故： k1=■，k2=■
则 ■=■■=■ ■ y1-■=■y2-■=■……………………①
由于■= (x1,y1-■) ，■= (x2,y2-■) 则 ■· ■=x1x2+(y1-■)(y2-■)把①带入得 ■· ■=x1x2 +■=■(x1x2+■)2-■,则把x1x2 看作一个变量可以发现■· ■ 是关于该变量的一个二次函数且在区间 (-■,+∞)上单调递增，由于x1＞0,x2 ＞0且x1+x2 =2p ，故0＜x1x2 ≤■ ■ 0＜x1x2 ≤p2由于x1≠x2 (直线 l1与l2为不同直线)，故0＜x1x2 ＜p2 ，则 ■· ■在(0,P2) 上单调递增，故 ■· ■ ＜■· ■ (x1x2=p2)■ ■· ■ ＜2p2证毕！
例2(高考题.安徽). 设A(x1,y1) 、 B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2上， l是AB 的垂直平分线
（1）当且仅当x1+x2 取何值时，直线 l经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；
（2）当直线l 的斜率为2时，求l在y 轴上截距的取值范围
分析：对于问题1，我们可以了解到 x1+x2即是弦 AB中点横坐标的2倍，而且直线 l是AB 的垂直平分线，故我们可以用引理1和引理2将其联系起来并解决问题，但是值得注意的是圆锥曲线中弦的中点必修满足相应的条件，如抛物线的弦中点必修在抛物线开口内。
解：(1) 设 AB中点为(x0,y0) ,显然直线AB 的斜率是肯定存在的，即 x1≠x2由于AB 在抛物线 y=2x2 上
y1=2x12y2=2x22 ■ y1-y2=2(x12-x22) ■ y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2)
■ ■=2(x1+x2)=4x0即 kAB=4x0.
由于直线l 是AB的中垂线
1)当 kAB=4x0=0时即x0=0，线段AB为垂直于y轴，故由抛物线关于y轴对称轴，直线l 就是y轴，满足题意直线l 经过焦点
2)当 kAB=4x0≠0，直线 l的斜率kl=■ ,又由于直线 l过点AB中点为 (x0,y0)，故其直线方程为：y-y0= ■(x-x0) ，直线 l过点F( 0,■) ,故 ■-y0=■(0-x0) ■ y0=-■＜0 由于(x0,y0) 为抛物线 y=2x2弦的中点，故y0＞0 （如图1，抛物线的弦中点必修在抛物线开口内）,故y0=-■ 不符合题意。
图1 图2
综上x0=0 ，即x1+x2 =0 时，直线l过焦点F
解(2) 直线l 的斜率为2，则AB所在直线的斜率为-■ ,则由(1)可得 4x0=-■ ■ x0=-■，则此时直线的方程l ：
y-y0=■(x-x0) ■ y=2x+ ■+y0
故其截距为 ■+y0，由于中点坐标为(■,y0) 且x=■时y=■ ,故y0＞■ 即■+y0 ＞■（如图2，抛物线的弦中点必修在抛物线开口内）
综上，直线l在y轴上的截距的范围为( ■,+∞)
例2(模拟题)已知椭圆 C：■+■=1（a＞b＞0）过点(1,■) ，且离心率e=■ 。
(1)求椭圆方程；
(2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M,N，且线段 MN的垂直平分线过定点G(■ ,0)，求k的取值范围。
解：(1) ∵离心率e=■ ，∴■=1-■=■ ，即4b2=3a2 （1）；
又椭圆过点(1,■) ，则■+■=1 ，（1）式代入上式，解得a2=4 ， b2=3，椭圆方程为■+■=1 。
(2)设 MN的中点为C(x0,y0) ,由椭圆的对称性与MN 的斜率存在且不为0可知 C(x0,y0)满足 x0≠0,y0≠0。则由引理1与引理2可得：
MN所在直线方程为：y-y0= ■ (x-x0)
MN的中垂线方程为：y-y0= ■ (x-x0)
则 MN所在直线的斜率k= ■ ,由于MN 的中垂线过点G(■ ,0) 故：0-y0= ■ (■-x0) ■ x0=■ ，则 k= ■,又由于中点C(x0,y0) 在椭圆内，故：■+■＜1■ -■＜y0＜■
又 x0≠0,y0≠0，
故y0∈ ( -■，0）∪（0，■）
■ ■∈（-∞，-■）■（■，+∞）
综上， k∈（-∞，-■）■（■，+∞）。
例3（模拟题）设F1 、F2 分别是椭圆■+■=1 的左右焦点．是否存在过点A(5,0) 的直线l与椭圆交于不同的两点C,D ，使得F2C=F2D ？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：假设存在直线满足题意，由题意知F2C=F2D ，即F2到C、D两点的距离相等，故F2 在CD线段的中垂线上，显然CD线段所在的直线的斜率是存在的且不为0，设CD线段的中点为 E(x0,y0)，则 x0≠0且y0≠0 ，由推论1与推论2可得：CD所在直线方程为： y-y0= ■ (x-x0)
CD的中垂线方程为： y-y0= ■ (x-x0)
由于F2(1,0) 在CD的中垂线上且CD所在直线过A(5,0) ，故：
0-y0=■(5-x0)0-y0=■(1-x0) ■ x0=5y0=0 ，即CD线段的中点E的坐标为 (5,0)
显然(5,0) 在椭圆的外面，故不符合题意，综上这样的直线是不存在的。
从三个题目我们可以了解到，圆锥曲线问题思路明了，但是里面的诀窍很多，尤其体现在如何设计解题思路可以很好的降低计算量，这已经是圆锥曲线问题解决的关键，而本文的两个引理的应用可以很好的避开联立方程，参数范围等一些比较繁杂的计算过程，从而达到节约时间又可以正确解题的效果。
