中国图书馆分类号：O413
摘 要：本文研究的是量子力学中关于自由粒子运动的路径积分问题，通过将测度理论中的方法引入对自由粒子运动路径的描述，从而构建不同测度意义下路径积分量之间的关系。
关键词：粒子；测度；积分
Abstract：In this paper, the path integral of free particle motion in quantum mechanics is studied. By introducing the method of measure theory into the description of free particle motion path. Therefore, the relationship between the path product components in different measurement sense is constructed.
Keywords: Particle；Measure；Integral
引言
物理为数学的研究提供背景，数学为物理提供研究工具。本文正是基于这样的基本思想，通过建立测度论与路径积分的联系，得到路径积分的物理量间的新的关系。
Introduction: Physics provides the background for mathematical research, and mathematics provides research tools for physics. This paper is based on the basic idea of establishing the relation between measure theory and path integral. To get a new relationship between the physical quantities of path integrals.
考虑x-t 的平面路径积分图（如下），将其看作为平面矩形图。于是坐标（a,b） 满足：
Ⅰ区域： t1≤a≤t2t1≤a＜t2t1＜a≤t2t1＜a＜t2 x1≤b≤x2x1≤b＜x2x1＜b≤x2x1＜b＜x2
Ⅱ区域：t2≤a≤t3t2≤a＜t3t2＜a≤t3t2＜a＜t3 x2≤b≤x3x2≤b＜x3x2＜b≤x3x2＜b＜x3 ，
由于区域Ⅰ+Ⅱ 是矩形平面初等集，其测度为：
m（Ⅰ）=（x2-x1）（t2-t1）
m（Ⅱ）=（x3-x2）（t3-t2）
这里m 是满足m： RxR→R的Lebesgue测度，所以该平面是坐标 （a,b）∈θm的集族θm 。由于该平面内的点属于θm ，并且满足条件：
⑴ Ⅰ+Ⅱ=Ⅰ∪Ⅱ，且Ⅰ∩Ⅱ=φ；
⑵ Ⅰ+Ⅱ的测度为 m(Ⅰ+Ⅱ)=（x3-x1）（t3-t1）=m（Ⅰ）+m（Ⅱ）=（x2-x1）（t2-t1）+（x3-x2）（t3-t2）
。因此该平面矩形的测度m 满足σ可加性。
现在考虑一种简单的自由粒子对U（t） 的近似情况：
由路径积分中的U（t）U（x,t;x',t'）=A■expis[x(t)]/h
,计算U（x,t;x',t'）=A'expiscl/h
。这里假设路径为贯穿两个区域的一条直线，所以有
■=■
，由前面的测度理论可得
m（Ⅰ）=（x1-x2）（t1-t2）
m（Ⅱ）=（xcl(t3）-x2)（t3-t2）
■ ■=■
■ (t3-t2)2m(Ⅰ) =(t1-t2)2m（Ⅱ）
■ 速度为
v=■=■=■
■Scl=■Ldt3=■■mv2dt3=mt3■■ =■m■
，其中 L=■mv2。将x',t' 替换为 x2,t2； x,t替换为x1,t1 ，所以
U(x1,t1;x2,t2)=A'exp■/h
，根据delta函数的性质，可得
U(x1,t1;x2,0)=U(x1,t1;x2)=(■)1/2exp■。
下面研究自由粒子的路径趋近 ∞时的情形：
根据前面的已知条件， θm是初等集集族，测度m 具有 σ可加性。设路径间的间距相等，得到的路径积分为
U(xN,tN;x0,t0)=■expis[x(t)]/hD[x(t)]
，这里S=■■mv2dt,v=■+■+¨+■=■■， 。令tN=t0+Nθ ，因为m(S)=■■
，将v=■ 代入，就有S=■m■t■ ■ S=■
代入，得到U(xN,tN;x0,t0)=■exp■D[x(t)]
，可以写成
U(xN,tN;x0,t0)=limA■■…■exp[■]xdx1…dxN-1
。若只考虑坐标点之间的关系，可得s=■■（■）2θ
■U(xN,tN;x0,t0)=limA■exp[■■■]xdx1…dxN-1
■ U= limA■expi■ [(■)1/2xi+1-(■)1/2xi] ①
，其中令 yi=(■)1/2xi
■ U'= limA'■exp[i■(yi+1-yi) 2]dy1…dyN-1 ②
，将①式与②式进行比较
■ A'=A(■)(N-1)/2
当 t=2时，得到■expi[(y2-y1)2+(y1-y0)2]dy1=(■)1/2e-(y2-y0)2/2i
；当t=3 时，得到(■)1/2■e-(y3-y2)2/ie-(y2-y0)2/2idy2=(■)e-(y3-y0)2/3i
；……；
当 t=N时，得到(■)(N-2)/2■e-(yN-yN-1)2/ie-(yN-1-y0)2/(N-1)idyN-1
=■(N-1)/2e-(yN-y0)2/Ni
。所以由
■e-(yN-y0）2/NiyN=（■）1/2xN, y0=（■）1/2x0
■ ■e-[（■）1/2xN-（■）1/2x0]Ni=■e-m(xN-x0)2/2hθNi
。所以U=A■(■)1/2exp[■]
，前面已令 Nθ=tN-t0，所以知 A=(■)-N/2，所以
U(xN,tN;x0,t0)=lim■■exp[■]xdx1…dxN-1
，其中S=S1■S2■…■SN 。
取矩形A ■ S ，已知 A的外测度是μ*(A)=inf■ m(SN)
=inf(S)。则任何与 A相邻的矩形B ，使得 A∩B有以下几种情形：
■
所以 μ*(A△B)=μ*(A■B-(ti,x(ti)))
= inf m(A■B)< m(A■B)
A∪B-（ti,x(ti)） ■ A∪B
，这里μ*(A△B)=μ*(A■B-(x,y) x=ti,x(ti-1)≤y≤x(ti)})
。因为m(A■B)=m(A)+m(B)
=■■+■＜ε
所以 μ*(A△B)＜ε，同时μ*(A△B)＜μ*(A)+μ*(B)=2infm(S)＜ε。
A,B■S
所以有路径积分
U*(xN,tN;x0,t0)=lim■(■)-N/2exp[■]xdx1…dxN-1
■ (N-1)
U*(xN,tN;x0,t0)
≤lim■■exp[■]
■ ■ (N-1)
xdx1…dxN-1
≤lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
＜lim■■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
。令UL(xN,tN;x0,t0)=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
为Lebesgue意义下的路径积分。再令
Uε(xN,tN;x0,t0)=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
UA(xN,tN;x0,t0)=lim(■)-N/4■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
UB(xN,tN;x0,t0)=lim(■)-N/4■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
就有U2A U2B＜Uε。
考虑矩形A,B,C 形成具有m 测度的环Rm ，且C■B■A ，可知
A-C=S1US2-(ta,x(ta))-(ta+d,x(ta+d)) ■■ A-C■S1US2
，所以m(A-C)≤■m(Si)=■■+■■
。由于A-C=S1■S2-(ta,x(ta))-(ta+d,x(ta+d))S1■S2-(x,y) x=ta,x(ta-1)≤y≤x（ta））-x,y) x=ta+d,x(ta+d)≤y≤x（ta+d+1））
，在此条件下令
ξ=■■+■■
，所以m(A-C)＜ξ ■ B 是Jordan集。得到Jordan意义下的路径积分
UJ(xN,tN;x0,t0)=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1 。
■■ (N-1)
下面考虑如下两图的情形：
测度m 给定在x 里的集半环θm，
P=P1∪P2，P■X ，在图Ⅰ 情形下，
μ*(P)=μ*( P∩P1)+μ*(P-P1)，由初等集的性质就得到
m(p)=m( P∩P1)+m(P-P1)≤m(P1)+m(P2)
，因为m(p1)=■■
m(p2)=■■
。所以就有m(P)≤■[■+■]
，所以在P 区域的自由粒子的路径积分为：
UP=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■ ■ (N-1)
，并且满足
UP≤lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1 ③
■■ (N-1)
③≥lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■■ (N-1)
。当 “=”成立时，同m（P2）=m（P1）=■m(P)，所以在此条件下有Caratheodory意义下可测的路径积分，并且A3UP= U2P1U2P2。
在图 Ⅱ的情形下：
P=P1∪P2∪P3,P ■x,μ*(P)=μ*(P∩P1)+μ*(P-P1)
■ m(P)=m(P∩P1)+m(P-P1) ≤m(P1) +m(P2)+m(P3)
。因为m(p1)=■■
m(p2)=■■
m(p3)=■■
，所以
m(P)≤■■
+■■+■■
，即UP=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■ (N-1)
≤lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1 ■ (N-1)
④。
因为 ④≥lim(■)-N/2■exp[■]
■ ■ (N-1)
xdx1…dxN-1=lim(■)-N/2■exp[■]xdx1…dxN-1
■ ■ (N-1)
，当且仅当m(p1)=2■ ，即m(p2) =m(p3)时，“=” 成立。所以就有m(P1)=2m(P2)=2m(P3)m(P)=2m(P1)
，在此条件下有Caratheodory意义下可测的路径积分，
且A7UP= U3P1U2P2U2P3。
参考文献
[1]Paul R.Halmos,Measure Theory[M].北京,世界图书出版公司,2007.2.
[2]R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2nd ed[M].北京，世界图书出版公司，2007.5.
[3]塔诺季,量子力学[M].北京，高等教育出版社,2014.7.
[4]朗道,量子力学（非相对论理论）[M].北京,高等教育出版社,2008.10.
[5]A. H. 柯尔莫戈洛,夫函数论与泛函分析初步[M].北京,高等教育出版社,2006.1.
作者简介
作者姓名：罗嘉铭；性别：男；出生年月：1989-06-22；籍贯：河南洛阳；学历：硕士生；研究方向：数学；职称：无；工作单位：河南科技大学。
