摘 要：本文通过对一道试题的不同解法，分析思考从直线上一个动点出发看一条线段，动点在什么位置时视角最大问题，并推广到动点在一个圆上看一条线段视角最大的问题。
普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社数学必修五 版，3.4《基本不等式》第113页习题3.4B组第2题：
如图，树顶 A离地面a m，树上另一点B 离地面 bm，在离地面 C m的C 处看此树，离此树多远时视角最大？
教学参考书给出的解答：
解一：过点C作CD⊥AB，交 AB延长线于点D .设 ∠BCD=α，∠ACB=β
， CD=x.
在△BCD 中，tanα=■ ，在△ACD 中， tan(α+β)=■，
则 tanβ=tan[(α+β)-α]
=■=■
≤■=■
当且仅当 x=■ ，即 x= ■
时tanβ 取得最大，从而视角也最大.
解二：（余弦定理）
过点C 作CD⊥AB ，交AB 延长线于点D .设∠BCD=α ，CD=x .
AD=a-c=m， BD=b-c=n，则 AB=a-b=m-n.
在Rt △BCD 中，CB=■ ，
在 Rt△ACD中，CA=■，
在△ACB 中，由余弦定理得
cosα=■
=■
而 cos2α=■=1-■
=1-■≥1-■=1-■
当且仅当 x2=■ ，
即 x=■=■
时cos2α 取得最小，从而视角也最大.
解三：（面积相等）
过点 C作CD⊥AB， 交AB 延长线于点 D.设 ∠BCD=α ，CD=x.
AD=a-c=m,BC=b-c=n
则AB=a-b=m-n .
在Rt △BCD 中，CB=■ ，
在 Rt△ACD中，CA=■，
则 S△ACB=■CD·AB=■CB·CAsinα,
从而 sinα=■
所以 sin2α=■
≤ ■=■
当且仅当 x2= ■，即 x= ■=■
时sin2α取得最大，从而视角也最大.
解四：如图建立平面直角坐标系，设C(x,c) ，
则A(0,a) ，B(0,b) .
■=(-x,a-c),■=(-x,b-c)
cos∠BCA=■
=■，
设 a-c=m， b-c=n，
以下解法同解法二.
解法五：（平面几何）
如图，分别作 AB、BC 的垂直平分线DF 、EF ，交于F ，则圆 F是△ABC 的外接圆，延长DF 交圆F 于G ，连结AF、AG 、FC ，过C作 CH⊥AB于 H，则 ∠ACB=∠AGB=∠AFD.
由于 sin∠AFD=■=■，要∠AFD 最大，即要FC 最小.
F、C 分别在直线DF 、 CH上，而 DFPCH ，
当FC= DH时最小，即FC=■-c (圆F 恰好与CH相切)，
此时DF=■=■ .
所以离此树■时视角最大.
下面我们把这个问题进行拓展：如图一在直线 l上一点C 看线段 AB，C点在什么位置视角最大？
作△ABC 的外接圆 0，连结OA 、OB （图二），
则 ∠AOB=2∠ACB，要∠ACB 最大，即要∠AOB 最大.由于AB 的长为定值，所以即要圆 o的半径最小，如图三作过A、B 两点且与直线l 相切的圆，此时从切点 C看线段 视角最大.
证明，在 l上任取一点D ，连结 DA、 DB，设 DA交圆0 于E ，如图四，则∠ACB=∠AEB=∠EBD+∠ADB＞∠ADB，故∠ACB 最大.
图一
图二 图三 图四
如何作出这样的圆？其实就是求作经过两个定点且与已知直线相切的圆，切点就是所求的点.这是阿波罗尼斯问题的一个特例，即“点点线”.下面给出一种作图方法：
延长AB 交直线 l于D ，以 AD为直径作半圆，过B 作直线 BF⊥AD交半圆于 F，连结FD 、 FA，则FD2=DB·DA .
在直线 l上取 点C，使DF=DC ，作过A 、B 、 C三点的圆E ，由于DC2=DB·DA ，所以直线l 是圆E 的切线.
把问题再次拓展：在圆D上一点 C看线段 AB，C点在什么位置视角最大？
如图，我们可以类比在直线上的情况猜想：过 ABC的圆与圆 D相切时切点 C就是所求的点.下面给出证明。
证明：如图，过AB 作圆E 与圆D 相外切于点 C，在圆 D上任取一点C1 ，连结AC1 、BC1 ，设 AC1与圆E交于点F ，连结BF .
因为 ∠AFB是△BC1F 的外角，
故∠AFB ＞∠AC1B，
而 ∠ACB=∠AFB ，所以∠ACB∠AC1B ，
从而可得∠ACB 最大.
当过 AB作圆 E与圆 D相内切于点C，在圆D上任取一点C1，同理可证∠ACB＜ ∠AC1B.
此时∠ACB 最小.
现在提出问题，过两定点 A、 B能否做出与已知圆相切的圆？这样的圆有几个？这也是阿波罗尼斯问题的一个特例，即“点点圆”.下面给出一种作图方法：
如图，已知定点 A、 B，和定圆 C，求作过 A、 B且与圆C相切的圆.
作法：
（1）过 A、B任意作圆 D与圆C 相交于E 、F 两点，作直线 EF交直线AB 于 G，可以证明 G点是确定的点（与圆D 位置无关）.
（2）下面我们只需作过 G点且与圆 C相切的两条切线.连结 CG，以CG 为直径作圆H 交圆 C于 C1、 C2两点，则 GC1、GC2 就是过G 点且与圆 C相切的两条切线.
（3）分别过ABC1 和ABC2作圆 M、N ，此时圆M与圆D 外切，圆 N与圆D 内切
综上所述：
在直线 l上一点C 看线段 AB，C点在什么位置视角最大的问题，就是求作经过两个定点且与已知直线相切的圆，切点就是所求的点.
在一个圆上一点 C看线段 AB， C点在什么位置视角最大的问题，就是求作经过这两个点且与圆相切，切点就是所求的点.
参考文献
[1]人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教科书必修《数学5》.
[2]人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教师用书必修《数学5》.
[3]《数学传播》第30卷2期 汪晓勤 张小明《圆之吻》.
