本文为福建省教育科学“十三五”规划2016年度“培养小学生数感的课堂策略的行动研究FJJKXB16——422”课题研究成果
摘 要：数形结合的思想是小学数学学习中一种重要的思想方法。数形结合的两个要点是“以形示数”和“由形到数”，通过这两个要点达到数形结合的目的，使抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而达到高效学习的目的。
关键词：小学数学;数形结合;以形示数;由形到数
1、前言
小学是一个人认知世界的第一个正式、法定的大门。虽然小学数学对于成人来说既简单又基础，但是对于小学生来说却十分的抽象，有些大人看起来觉得很简单的数学知识，实际上由于小学生受到自身认知能力和思维水平的限制，经常觉得丈二和尚摸不着头脑，甚至连基本乘除法的计算也十分困难。数学学家华罗庚说：“数缺少形时少直观，形少数时难入微。”因此，利用数形结合的教学方式可以有效的提升小学生对数学问题的理解、增加数学解题的成功率。数形结合的两个要点是“以形示数”和“由形到数”。“以形示数”是用简单的图形表示数字问题，“由形到数”是推广问题，使用纯数学表达。
2、数形结合教学的理论依据
数学是来自于生活，应用于生活的学科，数学学习的目的就是为了解决生活中的实际问题。如果单纯的学习数学知识而脱离实际那么就有违数学学习的初衷。同样只是利用图形去解决数学问题，而没有用理论去抽象、拔高相应的理论，也无法使学生完全掌握相应的知识，更无法在实际生活中对数学的应用做到顺手拈来。所以数学教学必需要做到“以形示数”和“由形到数”，两个层次。第一个层次使得理论知识做到有的放矢，做到数学应用到生活的具体方面。第二个层次使得相应的应用扩宽，上升到理论，使得具体问题在理论上的推广。服务于更多方面，激发学生的学习乐趣与激情。
3、数形结合的几个例子
3.1 两位数乘法问题
三年级人教版对两位数乘两位数的标准数学解法是列竖式计算法。例如23乘以26。解法是运用列竖式计算的方法可以算出结果是598。（如图1.1）。国外有一种解法是画线法（如图1.2）。分别画出2,3,2,6四组线表示23和26然后数它们的交叉点进行累加，得到最后的答案。
这种解法相对于国内的解法相对来说有几个优点。1、完全不需要背诵九九乘法表。2、只需要知道多个个位数加法。只要知道这两个简单的基本知识就能解出23乘以26这种连成人都不能够一下解出的计算题。
3.2 奇数数列求和问题
一个奇数数列相加求和的例子，计算1+3+5+7+9+11+13。通过小球来表示数字，再将小球有规律地摆放成正方形的样子，最后通过正方形的面积等于边长的平方巧妙地求出数列的和。（如图1.3）
图1.3
3.3 集合问题
人教版小学数学三年级上册中有关于集合的例题：已知参加跳绳比赛的同学有杨明、陈东、刘红、李芳、王爱华、马超、丁旭、赵军、徐强，参加踢毽比赛的同学有刘红、于丽、周晓、杨明、朱小东、李芳、陶伟、卢强，请问参加这两项比赛的共有多少人？通过绘制韦恩图清楚地观察出重复的学生数，更好地理解重叠部分的意义并明白计算时要减去重复的学生的个数，由此得出参加两项比赛的人数。（如图1.4）
3.4 植树问题
植树问题对小学生而言是十分抽象的，“两端都栽”、“只栽一端”、“两端都不栽”这几种植树的方式常常让学生晕头转向，分不清要用哪个计算公式，导致结果的错误。而通过直观的“画线段图”的方式可以让学生一眼看就明白。例如：同学们在全场20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（只栽一端）。一共要栽多少棵树？可通过画线段图得出答案要栽的树的数目。（如图1-5，见下页）
4、“以形示数”的意义
对于小学生而言，单纯讲数学太过于抽象，且如果数学里只有无穷的公式和算理算法，那么也太过于枯燥。通过“以形示数”的方式可以充分激发起学生学习的兴趣，产生学习热 图1-5
情。学生通过观察图形、触摸图形、绘制图形等活动有效参与到数学课堂中，全身心地进行愉悦的数学学习。此外，“以形示数”的方式将抽象的数学知识直接形象地展示在学生的眼前，将复杂问题简单化，能够有效地引导学生理解掌握知识，避免了繁琐的记诵过程。在数与形的转化过程中，也能起到培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力的重要作用，为学生以后的数学学习生活打下坚实的基础。
5、“由形到数”的推广
单单使用图形来解决数学问题是快乐的，但也是繁琐的。画线法计算乘法结果，需要耗费很多时间画线。图形法解奇数数列求和问题需要画足够多的圆圈。随着问题中的人数、物体的数目等越变越大，通过具体的图形来解决问题也变得越来越复杂，浪费时间且不符合实际的需求。这时候我们就需要将教学的精力集中于“由形到数”的转换。那么如何完成“由形到数”的推广呢？
首先，让学生明确图形方法的局限，知形不足。让学生明白总是依赖图形解决问题并不适用于所有情况，了解通过数学中的公式、定理解决数学问题的必要性。“以形示数”一般来说有几个不足：1、解题需要绘制大量图形，浪费了大量的时间、精力。2、解题的正确性也依赖于学生的绘图能力，如果绘图过程中出现偏差，很可能得不到正确的答案。3、即使画出正确的图形，计数的过程也是繁琐的。如画线法计算乘法结果，如果交点过多，学生在数数过程中很容易产生混乱。这些不足也从侧面反衬出“由形到数”的必要性。但对于孩子们来说，可能它们很难理解其不足，因此在教学中首先要强调其局限性，才能激发起学生继续完成“由形到数”的学习过程。例如在《植树问题》这一课时时，若要在全长为100米的小路边植树，可以通过画部分线段图的方法让学生体会此方法十分浪费时间，操作起来也很累。由此引出“复杂问题简单化，探索规律”的解决问题的方法。
其次，引导学生仔细观察具体的图形，由形悟数。小学生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，“形”对于他们而言是充满乐趣的而且是可以理解的。通过认真观察具体的图形，他们可以慢慢从中发现规律、总结规律，从而完成“由形到数”的推广。例如在《集合问题》中通过观察维恩图，学生就明白了“重复”的意思，摸索出在解决此类问题的时候需要将重复的个数减掉的数学规律。在《植树问题》中通过观察线段图，明白了在“两端都栽”的情况下要先算出间隔数，然后在此基础上再加上1，才能表示所需要的树苗数。初除此之外，复杂的行程问题、鸡兔同笼问题等都可以通过观察具体地“形”，悟出“数”的规律。
6、总结
总之，数形结合思想作为一种重要的思想方法将贯穿于整个小学数学学习过程中。巧妙地将“数”与“形”结合起来，通过“由形示数”和“由形到数”两个环节让学生更加高效、顺利地进行数学学习。
参考文献
[1]《“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》汪渭芳.小学教学参考，2010.6.
[2]《浅议小学数学教学中“数形结合”思想的运用》 邹贵德.读与写杂志，2015年12月.
