随着小学奥数竞赛的推广和普及，各地涌现出了许多带有一定中学数学背景的竞赛试题，这些题目立意新颖，创意独特，能够开拓学生的视野，其中对于求和方法的研究是其中一道靓丽的风景线。在平时的教学辅导中，笔者通过分析总结，探究得出对高次自然数求和采用“升次法”解决这一类题型。
问题产生：计算sn=1+22+32+……+n2
解：由(k+1)3-k3=3k2+3k+1(k=1,2,3……)
得23-13=3*12+3*1+1（1）
33-23=3*22+3*2+1（2）
43-33=3*32+3*3+1（3）
……
(n+1)3-n3=3n2+3n+1 (n)
将这n个式子相加，得(n+1)3-13=3(12+22+……+n2)+3(1+2+……+n)+n
即知3sn=(n+1)3-(n+1)-3n(n+1)/2=(n+1)(n2+n/2)
∴6sn=(n+1)(2n2+n)=n(n+1)(2n+1)
∴sn=n(n+1)(2n+1)/6
以后求13+23+……+n3的和都可将它的第(n+1)项和第n项的次数升高一次再作差，即利用(k+1)4-k4=4k3+6k2+4k+1，求出它的前n项和可得13+23+……+n3=n2(n+1)2/4，这就是所谓的“升次法”，而这两个公式则可以较为简单的处理小学奥数的相关问题，大家可以感受一下以上方法的优点。
类型一：解决n(n+1)(n+2)……(n+k)型求和
处理此类求和问题，要从通项入手，把每一项中的积相乘展开，找出规律并把具有相同次数的项归类，再利用升次公式进行分类求和。
例1：计算：1*2+2*3+3*4+……100*101
解：原式=（12+1）+（22+2）+（32+3）+……+（1002+100）
=(12+22+32+……+1002)+(1+2+3+……+100)
=100*(100+1)(2*100+1)/6+5050
=343400
例2：求和：1*2*3+2*3*4+3*4*5+……+n(n+1)(n+2)
解:an=n(n+1)(n+2)=n3+3n-2+2n
∴原式=(13+23+33+……+n3)+3(12+22+32+……+n2)
+2(1+2+3+……+n)
=n2(n+1)2/4+n(n+1)(2n+1)/2+n(n+1)
这是自然数幂或自然数的乘积构成的数列求和问題先对通项进行变形，将它转化为三个基本数列的求和问题，再用公式求和。
类型二：解决(an)k型求和
在这类问题中，因为“an”已不再是简单的自然数了，而是具有一定规律性的新的数列，在解答时要先把(an)k展开，观察其次数是否具有相同的特性，再把具有相同的次数的项合并归类，进行求和。
例3：计算：5+20+45+80+……+500
解：原式=5(1+4+9+……+100)
=5(12+22+32+……+102)
=5〔10(10+1)(2*10+1)〕/6
=1925
类型三：在处理杂项数列求和中的应用
在处理这杂项数列一类问题时，其数列本身还是有一定规律可循的，我们要充分挖掘其本身的规律，从通项中发现各项所具有的共性，进行化简分类运用升次公式进行求和。
例4：设有数列： 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，求前100项的和
解：数列分别有1个1，2个2，3个3…13个13，此时共有91项，所以前100项还有7个14，因此前100项的和。
s=1*1+2*2+3*3+……+13*3+9*14
=13*(13+1)(2*3+1)/6+126
=945
例:5：计算1*99+2*96+3*91+……+9*19+10*0
∵1*99=1(102-12)，2*96=2(102-22)，3*91=3(102-32)……
∴原式=1(102-12)+2(102-22)+3(102-32)+……+10(102-32)
=(1*102-13)+(2*102-23)+(3*102-32)+……+(10*102-103)
=102(1+2+3+……+10)-(13+23+33+……+103)
=102*10(10+1)/2-102(10+1)2/4
=2475
“会当凌绝顶，一览众山小”，我们只有充分挖掘更深层次的东西，打破教学和课本中的常规模式，带有自己的分析和总结，并把总结性结论应用于教学中，才能培养和提高学生的数学素养以及数学思维。
