摘 要:三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是高考、会考必考内容。利用函数的有界性，单调性，奇偶性，周期性求三角函数的最值是常用的方法。
关键词：性质；最值
现举例如下：
一、利用函数的有界性（值域）求最值
例1 求函数y=3-2cos2x, x∈R的最大值和最小值
解： ∵-1≤cos2x≤1 ∴-2≤-2cos2x≤2
∴1≤3-2cos2x≤5
即1≤y≤5 ∴函数y=3-2cos2x, x∈R 的最大值是5，最小值是1。
例2：求函数 y=■ ,x∈R的最值。
解：由 y=■得 cosx=■∵cosx≤1
∴■≤1
即 2y-2≤y+1 ，两边平方，得(2y-2)2≤(y+1)2，
即 3y2-10y+3≤0,∴■≤y≤3
所以函数y=■ ,x∈R的最大值为3，最小值为 ■
二、利用函数的单调性求最值
例3：求函数y= 2sinx+■当x∈(0，π) 时的最小值。
解： y= 2(sinx+■)，令sinx=t 则因为x∈(0，π) 所以 t∈(0，1]
则y=2(t+■) 在t∈(0,1] 时是减函数，则当 t=1 即x=■时，
有 ymin=2(1+■)=8。
例4：求函数f(x)=sinx-cosx ,x∈[0，■]的最值。
解：由函数的单调性知y=sinx 在[0，■] 上是单调递增的的，而函数y=cosx 在[0，■] 上是单调递减的，所以函数 f(x)=sinx-cosx在[0，■] 上是单调递增的。
所以当x=0 时，函数 f(x)=sinx-cosx 有最小值为-1，当x=■ 时
函数f(x)=sinx-cosx 有最大值为1。
评注：在限定范围上求最值一般是应用函数的单调性求解
三、利用函数的奇偶性求最值
例5 ：已知 f(x)=asinx+btanx +2在 (0,+∞)上有最大值8，
则在 (-∞,0)上f(x) 有( )
A 最小值-8 B最大值-8 C 最小值-6 D 最小值-4
解：当 x∈(-∞,0)时，则-x∈(0,+∞) 由题意知：
f(-x)=asin(-x)+btan(-x )+2=-(asinx+btanx) +2≤8
∴asinx+btanx≥2-8=-6
故当 x∈(-∞,0) 时 f(x)=asinx+btanx +2≥-6+2=-4
故 f(x) 在(-∞,0) 上有最小值-4 ，故应选D
四、利用函数的周期性求最值
例6：求函数f(x)=sinx+cosx 的最大值和最小值
解： ∵f(x+■)=sin(x+■)+cos(x+■)
=cosx+sinx=f(x）
∴■是函数f(x)=sinx+cosx 的周期，故只需讨论0≤x≤■ 的情形，
当x∈[0，■] 时 。f(x)=sinx+cosx在角 x的终边上取一点 p(a,b)其中a2+b2=r2 且 a+b ≥r ∴sinx=■,cosx=■,∴f(x)=■+■=■
又∵a ＞0,b＞0,(a+b)2≥0 ∴2(a2+b2)≥(a+b)2
∴r≤a+b≤■)=■ ∴1≤■≤■
所以函数f(x)=sinx+cosx 的最大值是■ ，最小值是1
小结
总之，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。
参考文献
[1]三角函数最值问题6类型[J].赵春祥.第二课堂(高中版) 2007年07期
[2]构造图形求解三角函数最值[J].聂海峰.数理化学习(高中版) 2008年04期
[3]三角函数最值问题分类解析[J].杨新兰.数学爱好者(高一人教大纲) 2008年02期
