摘 要：数列是数学教学中的重要内容之一，也是必修内容。本文就重要分析了概率型游戏中的数列问题。
关键词：数列；数学教学；概率分析；数学游戏
游戏1：有人玩骰子动棋的游戏，棋盘分为A、B 两方，开始时把棋子放在 A方，根据下列规则移动棋子
规则１：骰子出现１点时不能移动棋子；
规则２：出现２，３，４，５时，把棋子移向对方；
规则３：出现６点时，如果棋子在A 方就不动；如果在B方，就移至 A方．
把骰子掷了n 次之后，棋子仍在A 方的概率记为Pn ．
问题：
１.对于任意n∈N 证明（Pn ，Pn+1 ）总在过定点（■ ，■ ），斜率为-■ 的直线上．
２.求Pn ．
分析
１.把骰子掷了n+1 次，棋子仍在 A方概率记为Pn+1 ，可以分为两种情况：
①第n 次棋子在 A方，其概率为Pn ，当第 n+1次出现１点或６点时候，棋子不动，其概率为■ ，因此这种情况产生的概率为■Pn ．
②第n次棋子在 B方，其概率为１－Pn ，当第n+1 次出现２，３，４，５点或６点时候，棋子移动到 A方，概率为■ ，因此这种情况产生的概率为■ （１－Pn ）．
所以 Pn+1=■Pn+■ （１－Pn ）
变形可得， Pn+1-■=-■（Pn-■）
所以，对于任意n∈N（Pn ， Pn+1）总在过定点（■ ，■ ），斜率为 -■的直线上．
２.因为Pn+1-■ =-■（Pn-■），所以 ■=-■
又因为P0 =1， P1=■P0+■(1-P0）=■
所以Pn-■ 是以-■ 为公比，以P1-■= -■为首项的等比数列．
所以 Pn-■=-■·（-■）n-1
即 Pn=■-■·（-■）n-1
游戏２：有人玩抛硬币的游戏，抛一枚硬币，正反两面各出现的概率是■ ，把这个硬币反复抛８次，这８次中的第 n次，假若正面出现，记 an=1，反面出现，记an=-1 ，令 Sn=a1+a2+…+an
（ 1≤n≤8），在这种情况下，求：
１. S2≠0且 S8=2的概率；
２. S4=0且S8=2 的概率．
分析 1.a1+a2≠0 ，就是a1=a2 =1或者a1=a2 =-1 ，即S2=2 或者 S2=-2 ．
当 S2=2且S8=2 时，即从第３次开始的６次中有正面３次，反面３次，所以S2=2且S8=2 时的概率是C22 (■)2C36(■)3(■)3=■；
当S2=-2且S8=2 时，即从第３次开始的６次中有正面５次，反面１次，所以 S2=-2且S8=2 的概率是
C22 (■)2C56(■)5(■)= ■．
因此，所求的概率为： ■；＋■= ■
２.若 S4=0且S8=2 ，则从第一次开始的４次中，正面和反面都是２次，而从第５次开始的４次中，正面３次，反面１次，故所求的概率为C24 (■)2(■)2C34(■)3(■)= ■ ．
游戏３:甲、乙两人各拿１００张卡片做游戏，甲所拿的卡片分别标有1、4、7、10、13……；乙所拿的卡片分别标有2、6、10、14、18……．游戏规则如下：
由甲从乙手中任意抽一张卡片，若甲手中的卡片有此号码，则甲获胜，否则乙获胜．问：在此游戏中甲获胜的概率有多少？
分析 分析甲、乙两人手中卡片所标数字．
甲：1、4、7、10、13……组成等差数列 an=3n-2（ 1≤n≤100）
乙：2、6、10、14、18……组成等差数列 bn=4n-2（ 1≤n≤100）
下面找甲、乙两人手中卡片所标数字有多少相同的．
设an=bm ，即：3n-2= 4m-2， n,m∈N*.
所以n=■m ，所以 m=3k，k∈N*.
因为 （ 1≤n≤100），所以1≤■m≤100 ，即1≤m≤75，m∈N*．
又因为m=3k ，所以1≤3k≤75 ，即 1≤k≤25， k∈N*.
故甲、乙两人手里有２５张卡片数字相同．
甲获胜的概率为■=■ ．
游戏４:Ａ、B两个人拿两粒骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为３的倍数，原掷骰子的人再继续掷，若掷出的点数之和不是３的倍数，就由对方接着掷，第一次由Ａ开始掷．
1.若第ｎ次由Ａ掷的概率为 Pn，求 Pn；
2.前４次抛掷中Ａ恰好掷２次的概率为多少？
分析
１.第ｎ＋１次由Ａ掷这一事件包括两种情况，第一种：第ｎ次由Ａ掷，且第ｎ＋１次由Ａ掷；第二种第ｎ次由Ｂ掷，且第ｎ＋１次由Ａ掷．
两粒骰子点数之和为３的倍数分别为：１＋２，２＋４，１＋５，４＋５，３＋３，６＋６，３＋６，其概率为 ■=■，则两粒骰子点数之和不为３的倍数的概率为 ■．
所以：Pn+1 =■Pn+■(1-Pn)，( n∈ N*)．
整理： Pn+1-■=-■(Pn-■)， ( n∈ N*)．
因为第一次由Ａ开始掷，所以P1=1，显然 Pn-■组成首项
P1-■=1-■=■，公比为-■ 的等比数列．
所以Pn-■ =■·(-■)n-1，
即 Pn=■·(-■)n-1+■，( n∈ N*) ．
２.由于第一次由Ａ开始掷，所以只要在第２次、第３次、第４次这３次中再有一次由Ａ掷就可以．
所以概率 P=P1P2(1-P3)(1-P4)+P1(1-P2)P3(1-P4)+P1(1-P2)(1-P3)P4
由问题１可以知道 P1=1，P2= ■·(-■)2-1+■=■，
P3= ■·(-■)3-1+■=■ ，P4= ■·(-■)4-1+■=■ ．
综上： P=■
参考文献
[1]高中数列的有效教学研究[D]. 孟祖国.华中师范大学 2011
[2]高中数列不同版本教科书内容的比较研究[D]. 张婷.东北师范大学 2009
