摘 要：传统的高中物理教学一般不引入微积分的知识。但随着新课程改革的推进，微积分也列入了考试范畴。在教学时，融入微积分知识，可以加深学生对物理知识的更好理解。而把微积分应用于高中物理竞赛中，能够帮助学生快速求解物理题，提高解题的效率。
关键词:微积分；高中物理；竞赛题
引言
在高中物理中，数学是一种重要的工具，它能够准确而简单的把物理概念和规律表达出来，也是物理的思维语言和方法。在高中物理教学中运用数学方法解决物理问题是学生需要具备的一种基本能力。在高中数学新课程中增加了有关微积分的初步知识，让学生能够初步掌握求导和微积分的思想和方法，这也为解决物理问题提供了方便。微积分是分析连续过程积累的一种方法，在物理中有着广泛的应用。许多物理概念及物理规律都是以微积分的形式给出的。高中的物理中有一些公式和解题方法都蕴含着微积分的思想，如果在物理竞赛中能够熟练的运用微积分的方法，能够提高学生做题的速度以及准确率。
一、微积分在微振动判断中的运用
微积分的思想和方法主要是把复杂的物理问题进行有限次的分割，然后再把分割无限进行下去，再利用近似处理，从理论上得到准确的结果。在高中物理中机械振动是比较典型的一个类型，在机械振动中最简单的就是简谐振动。所有复杂的振动都可以看成是由简谐振动合成的。在物理竞赛中也经常出现一些简谐振动的试题。简谐振动基本的判断方法中选择频率较高的为能量法、运动方程法和回复力法以及动力学法。这4种判断方法是不能直接进行使用的，需要运用一些技巧才能解决问题。经常使用的技巧有微元法、近似处理和微积分法。如果一个系统可以较为容易找到能量函数，但是近似处理难度比较大时，此时联合应用动力学方法和能量方法，写出能量函数，并求导，得出动力学方程，然后进行近似计算，这样就会得到意想不到的效果。
如图所示，这是个蒸汽机的飞球调速器，质量为m的球被竖直轴上下两个套筒和 4 根长度为l的铰臂连接起来。其中，上面的套筒是固定不动的，下面的套筒质量为 M，且能够沿着竖直轴进行滑动。该装置以角速度 ω0 围绕数值轴进行匀速转动。在不考虑套筒转动惯量、铰臂质量的情况下，当套筒 M 位于平衡位置附近时，请求出它的振动频率。在转动系统中，将转轴作为势能零点，套筒作为重力势能零点，则系统势能为Ep=-mω0l2sin2θ-2(m+M)glcosθ，则系统的动能为dEp=-mω02 2 sin2θ-2(m+M)gcosθ,令dEp/dθ=0，则
cosθ 0 =(m+M)g/ 02 如果令 θ=θ0+ △ θ 对上式进行近似，则必须保留到二阶小量，计算量会很大。若联合应用能量方法和动力学方法，对上式进行求导：(2M sin2θ + m)l2△θ-mω02 l(sinθ 0 cosθ 0 +cos 2θ 0 △θ ) 再令 θ=θ0+ △ θ，由于 θ ＜＜ θ0，
故有 sinθ=sinθ0+cosθ0·△ θ, cosθ=cosθ0 -sinθ0·△ θ. 略去二阶以上小量，
有cosθ 0= M m g mω02 l (M+m)gsinθ0+cosθ0·△ θ)=0
2M sin2θ m l2 △θ mω02 l sin2θ 0 △θ 0代入，
可化简得cosθ 0 =(M + m)g mω02 l,
值得注意的是并非全部的回复力都能在位移的情况下近似为简谐力。
二、微积分在变力做功竞赛题中的运用
对于变力做功问题的解题方法很多，经常用的方法是利用系统能量+质点牛顿运动定律分析、系统能量+质点能量分析以及利用微积分进行分析。
如图 １（a）所示 ，把质量均为 m的两个小钢球用长为 ２ L 的线连接 ，放在光滑的水平面上 ．在线的中央 O 作用一个恒定的拉力 ，其大小为 F ，其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直 ．连线是非常柔软且不会伸缩的 ，质量可忽略不计 ．试求 ：钢球第一次碰撞时 ，在与力 F垂直的方向上 ，钢球的对地速度为多少 ？
分析 ：对线的中央 O分析 ，受到水平恒力 F和两细线拉力 T ，如图 １（b） 所示 ，当其中一条细线拉力 T 与虚线成 θ 角时T= F/２cos θ，对其中一个钢球分析 ，只受到细线的拉力 ，把这个力分解 ，沿 F 方向分力为Fx＝ F/２为恒力 ，沿垂直 F 方向分力为Fy ＝F/2tan θ为变力 ．因此小球沿 x 方向做匀加速直线运动 ，沿 y 方向做加速度越来越小的加速运动。
三、利用微积分求变力做以下功能分析
根据上述分析可知 ，其中一钢球受到细线的拉力是变力 ，但 Fx ＝F/2是恒力 ，Fy /2 ＝Ftan θ是变力 ，而 Fy做的功就是其中一个小钢球的动能增加量 ，因此由功能关系可求得 vy 其中一个小钢球经一段时间沿 y 方向的位移y ＝L － Lsin θ，
d y ＝ － Lcos θdθ
dW ＝Fy d y ＝F/2 tan θ（ －Lcos θdθ） ＝－ FL /2tan θcos θd θ＝ -FL/2sinθdθ ＝ FL/2 dcos θ，FL ０ W ＝ ２ ∫２ dcosθ ＝FL/2＝1/２mv2π
在高中物理竞赛中运用微积分，可以让学生准确理解物理概念和规律。普通的物理知识用微积分进行描述，可以圆满的解决不少问题。如简谐运动、正弦交流电模型以及感应电动势等都用到了微积分的思想。利用微积分的方法分析解决问题，可以把复杂的问题简单化。不仅丰富了学生处理物理问题技巧，提高了学生数理结合的能力，还拓展了学生的解题思路。在高中物理竞赛题中应用这种研究问题的方法，可以不断提高学生的解题能力。
参考文献
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