摘 要： 高中几何是高中数学的难点，分为两个部分，一个是立体几何，一个是解析几何，立体几何在高考中所占的比重较大，从新课标实施开始，对立体几何教学的内容略有调整。本文对立体几何问题分析中的空间向量法和综合法进行对比，旨在加深对这两种方法的理解。
关键词：空间几何；高中数学；空间向量法；综合法
引言
空间向量法来源于"向量"概念，这个概念从十九世纪七十年代美国数学教师协会提出的，在理解几何关系的时候，通过"向量"关系进行分析，可以更好地理解几何问题，例如对于基本的几何关系，可以用代数、坐标、图像等方法进行表示。在空间向量法中特别强调了坐标体系，坐标体系为解决几何问题提供了有效的途径，可以为几何知识的分析提供帮助。传统的综合法对空间几何问题的解决也有一定的帮助，但是综合法的分析相对比较复杂，但只要能找到其中的线面关系，也可以简化解题步骤，减少运算量。因此在高中几何立体问题的分析过程中，根据题目给出的信息，可以对空间向量法和综合法进行灵活应用，提高解题效率。
一、空间向量法和综合法对比概述
在立体几何问题的分析过程中，综合向量法和综合法都是常用的方法，并没有孰优孰劣，只是不同的方法适用于不同的题目，在解题过程中要对题目进行，选择最合适的解法。在立体几何问题中，平行与垂直是最常见的两个问题，在不同的知识体系下有不同的处理方法。
例如关于两条直线平行的问题，空间向量法的定义是：如果两条直线的方向向量共线，则两条直线平行；而综合法中，将处于同一个平面中，并没有公共点的两条直线就叫做平行直线。
关于直线和平面平行的问题，在向量法中，假设■ 是平面 α的法向量， ■表示直线 l的一个方向向量，如果■⊥■ ，并且 ，则直线与平面之间平行。在综合法中，关于直线与平面之间的平行的定义是，如果平面外的一条直线与平面内的任意一条之间都平行，则直线与平面之间保持平行。
垂直问题也是立体几何中的热点问题之一，利用空间向量法对垂直关系进行判断，更能体现出向量的计算特征。
关于两条直线垂直问题，利用空间向量法判断如下：假设 ■是直线l1的方向向量，■是直线的l2方向向量，如果■·■ =0，则可以判定 l1⊥l2。在综合法中，关于直线垂直的判断方法是：如果两条直线的角度为90°，则两条直线垂直。
关于直线和平面垂直问题，向量法分析，假设 ■是平面α的法向量，■表示直线 l的一个方向向量，如果■∥■ ，则可以判定l⊥α 。传统的综合法判断为，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则可以判定直线与平面之间垂直。
二、例题分析
在立体几何问题中，采用空间向量法对几何问题进行证明，可以更加简单，例如三垂线定理的证明，采用空间向量法比较简便。
例1：证明三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面外的一条直线在这个平面中的射影垂直，则说明两条直线相互垂直。
已知条件为： AB是平面α 的斜线， B为斜足， A 在面上的射影是C ，BC 是AB 在平面α 内的射影， a α a⊥BC。
求证：a⊥AB 。
综合法证明如下：
∵ AC⊥α ∴AC⊥a 又∵a⊥BC, BC■AC=C
∴a⊥平面ABC ∴a⊥AB
向量法证明如下：假设直线 a是平面上的任意一条直线， AB又是平面上的斜线， B为斜足，A 在平面 α上的射影点为 C。
∵■·■=■·(■+■)=■·■+■·■
又∵■⊥■, ■⊥■ ∴■·■=0 ■·■=0
∴■·■=0 ∴α⊥AB
三垂线定理及其逆定理在高中立体几何中是十分重要的内容，在对这种问题进行分析的时候，可以将其看作是线面垂直问题中的一个性质的推论，从而使得问题变得简单化，用这个定理来证明线与线之间的垂直，线与面之间的垂直比直接用判定定理和性质进行反复推导要简单一些，简化了论证的过程。
例二:证明直线与平面垂直的判定定理。如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
已知条件：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线 l与a的交点为B，并且l⊥m ，l⊥n 。
求证： l⊥α
采用综合法论证如下：
过点B 做平行线， m∥m' n∥n'，
∵l⊥m' ,l⊥n' ∴l⊥m, l⊥ n
过点 B作直线 a，在直线上截取相等的两个点，BA=BA' ，并且使得两个点都在a 的两侧，所以 m和 n都是AA' 的垂直平分线。可以得到 AD=A'D, AC=A'C。再在平面 α上取任意一个点 E，过点 E在平面 α上作一条不通过点B 的直线，分别和 m与 n相交，交点为 C和 D。可以得到： △ACD≌△A'CD，∠ACD=∠A'CD ，又因为AC=A'C ，所以 △ACE≌△A'CE， AE=A'E
所以可以得到a⊥l, l⊥α
用综合向量法证明如下：
假设l是平面上的任意一条直线，在l 、 l1、l2 和l3 上分别取向量■,■1,■2,和■3 ，由于l2?和 l3相交，所以可以得到■=α■2+β■3 ，其中α和β都是常数，因为 l1与l2 垂直，与 l3垂直，所以得到
■1·■2=0, ■1·■3=0, 进而推导出
■·■1=(α■2+β■3)·■1=α■2■1+β■3■1=0 。所以可以证明l1 和平面上的直线l 垂直，l1 和这个平面也是垂直关系。
从这个例题中可以看出，综合法的构造相对比较复杂，在证明过程中有很多繁琐的关系，用向量法进行证明，使得整个证明过程变得简化。
例三：如下图所示， P-ABCD是以正方形ABCD 为底面， P为顶点的四棱锥，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD=DC ，点 E是 PC的中点，做直线 EF与PB 垂直，相交于点 F。求证 PA与平面 EDB平行。
利用综合法进行分析，通常的方法是直接利用判定定理将线与面之间的平行转化为线与线之间的平行关系，可以构造平行四边形的一组对边，也可以构造三角形的中位线，使得三角形的中位线与底边保持平行，然后对其进行证明。利用向量法，则可以直接将问题转化为证明两个向量垂直，即找 PA与平面EDB 之间的法向量的垂直关系，通过证明其垂直就可以证明PA 与平面 EDB平行。
结束语
综上所述，立体几何是高中数学中的重点内容，在对立体几何问题进行分析的时候，常规的综合分析法与空间向量法都可以应用，在实际问题中要根据例题找到合适的解题方法，简化解题过程。
参考文献
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[3]向量法与综合法在几何解题中的整合[J]. 李善佳. 数学教学通讯. 2010(15)
[4]对立体几何试题的一些分析和思考[J]. 杨国锋. 数学学习与研究. 2015(16)
作者简介
黄泽，男，2000年6月23日生，汉族，河南省洛阳市第一高级中学学生.
