数学新课程的基本出发点是“促进学生全面、持续和谐地发展”，把学生的发展放在首位，一切为了学生的发展。在新课程理念的指导下，数学课堂教学已逐渐从过去的偏重知识技能的落实这单一的目标，转向体现“知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度”四维合一的多元目标，使数学课堂教学不只是让学生获得必要的知识技能，还关注学生在数学思维能力、解决问题能力、情感态度等方面的发展。其中数学思考是学生进行数学学习的核心，它作为一种“过程性目标”，实际上是让学生经历“做数学”的过程，也就是让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，以此来唤起学生对数学的好奇心，激发并维持学生主动和自主学习的兴趣，培育学生的实践能力和创新意识，促进学生全面发展。
“平行四边形面积”是人教版五年级数学上册的教学内容。教材编写意图很清晰：将比较花坛大小这一生活问题转化成一个数学问题——计算图形面积；随后通过数方格得出图形的面积及借助表格收集整理数据，让学生从中提出平行四边形面积计算方法的猜想，再进一步地用割补化的方法进行验证，并由个别推向一般，揭示平行四边形面积的计算公式。此课的教学常教常新，下面呈现三份案例：
【案例一】
1.合作探究：四人小组合作剪拼，把平行四边形拼成我们学过的图形。
( 1 ) 在平行四边形上画一条高。
( 2) 沿着高把平行四边形剪成两份。
( 3) 把平行四边形拼成我们熟悉的图形 。
2.学生反馈交流。
3.观察研究拼成的长方形与原平行四边形的关系。
( 1 ) 平行四边形转化成长方形后 ，什么变了，什么没变?
( 2) 长方形的长与平行四边形的底有什么关系?
( 3) 长方形的宽与平行四边形的高有什么关系?
4.得出公式:平行四边形的面积=底×高
【案例二】
1.教师出示一个平行四边形，提出问题：如果想知道这个平行四边形的面积，你有办法吗?
2.学生动手量出平行四边形的底7厘米、高4厘米、与底相邻的一条边是 5厘米, 猜想出三种不同的答案： 24平方厘米，28平方厘米，35平方厘米。
3.教师：现在我们有三种不同的答案，分成三个小组，请你们利用手中的工具，想办法知道谁的答案是正确的。
4.学生动手实践，合作探究。学生利用手中的长方形、平行四边形、 剪刀、印有小方格的纸，进行剪、拼、量、算。
5.学生反馈交流，汇报结果。
师：谁想说说自己的理由，证明自己的答案是对的？
生1 : 5+7+5+7, 是 24 平方厘米。
师：你们同意吗?
生2：不同意，他算的是周长。
生3：我找长方形一比，剪下来拼成长方形，面积一样，是28平方厘米。
生4：我也依着长方形剪下来，拼成长方形，也是28平方厘米。
师：刚才两位同学都用长方形比划着剪，他们是沿着什么在剪？
师：原来你是怎么算出35平方厘米的?
生：两条边相乘。
师：两条边相乘正确吗?那么你们认为应该怎么算？
生：底×高。
6.验证：是否所有的平行四边形面积都能底×高呢？
（课件演示）
7.小组讨论：转化后的长方形与原来平行四边形到底有什么关系呢?
结论转 ：转化后长方形的长可以看作平行四边形的底，转化后长方形的宽可以看作平行四边形的高。
8.得到公式：平行四边形的面积 =底×高… …
【案例三】
1.猜：请同学们看大屏幕，猜一猜，哪个图形的面积大？
生：①长方形面积大；②平行四边形面积大；③一样大
（通过举手的方式统计各类人数）
师：看来大家的意见不一致。
2.比：那请大家拿出桌上的2个图形比比看。
师：现在你觉得哪个图形的面积大呢？是这样的吗？你是怎么比的？
生：（再次举手统计）看来意见还是不统一，因为我们不知道它们的面积到底是多少。
3.量：要知道图形的面积，我们只要量一量，算一算，这两个图形：长方形我们学过的。计算平行四边形的面积，你们觉得应该量什么？请观察，思考。
4.算：好，拿出直尺量出所需要的数据，算一算它们的面积，量的时候可精确到整厘米数。同时，教师贴出这两个图形。
学生汇报量算的结果：
先看长方形：你量的长和宽各是多少？算的面积是多少？板书：6×4=24cm2。
再看平行四边形，你量的什么？是怎么算的？
生答：
算法1：我量的底是7cm，高3cm，用7×3=21cm2
板书：7×3=21cm2
老师想知道：高在哪里？（师生共同画高）
我们一起画出了高，量得高3cm，用底×高算出了面积，能这样算吗。
哪些同学是这样算的？请举手。
算法2：还有不同的意见吗？刚才不少同学猜平行四边形的面积大，那你量的什么？是怎么算的！
生答：量的底7cm，邻边5cm，用7×5=35cm2
师问：为什么可以这样算？你是怎么想的？
生：把这个平行四边形拉一下就是一个长方形呀。
学生回答后（把平行四边形重叠，贴出）再移动框架在平行四边形，拉动成长方形。
师：似乎有一定的道理。
生：不对，小组热烈的讨论，拉动后，面积变大了。
生：再压扁看面积变小了，面积变小了呀！再压扁面积是0了。
师：怪了，现在有2个答案，有的同学用底×高算的面积是21cm2，有的同学用底×邻边算的是35cm2，我们还是比不出谁的面积大？到底谁的面积大呢?
5.数：验证：是这样的，我们前面学习过一种最原始的方法，但很有效，你们看这是什么？（出示方格）大家只要把平行四边形放上去，数一数，它占了多少方格就是多少平方厘米（可以在上面作上记号）。
问学生：你数的是多少cm2（21cm2）你是怎么想的？
投影汇报：A：拼，木块拼整块（18个整块，3对半块）
B：移，有不同的方法吗？
把三角形平移，得到了长方形。
这样看起来很简单，真是个好方法，为了让大家看得更清楚，我们一起来看看这个方法，现在它的面积只要用一句俗话（不管三七二十一）有21格，通过数方格，某某用7×5看来不对，某某用7×3这个答案是正确的。
6.推导面积公式，老师有个问题不明白：能用底×高计算平行四边形的面积道理在哪？不能用底×邻边算平行边形的面积的原因又是什么呢？请同学们观察、思考、交流学生汇报：汇报后教师拿出剪好的平行四边形，重叠出示长方形（再现平移转化的过程），贴长方形。
问：这个平行四边形与长方形有没有联系？
有哪些联系，你知道平行四边形的面积公式是怎样的呢？
板书：高3 宽3 底7 长7
大家说得很好，平行四边形的高转化成长方形的宽、平行四边形的底转化成长方形的长，面积不变
板书：平行四边形的面积=底×高。
7.再回过头来看7×3实际上算的谁的面积，也是平行四边转化成长方形的面积，这种算法是对的，再看用7×5算为什么不对呢？拉成的长方形后平行四边形与长方形有什么关系？（周长、底没变，拉成长方形后面积变大了）
变大的是哪部分，你看得出来吗？
生答：所以这种算法是错误的。
【案例分析】
三节课看来教学目标基本一致，教学重难点都是平行四边形面积公式的推导，教学材料上都用到了格字图、平行四边形和剪刀，教学过程中都设计了让学生在课堂上动手操作，都采用了自主探究，通过剪拼得到结论。但是纵观这三种探究、细看重难点的突破、学生的思维发展却存在着本质的区别。
案例1:只是让学生顺着教师的思路走，实质上这是一种被动的探究活动。学生的许多操作活动都是教师千方百计设计了既定思路，学生只是按教师所设定的框架一个一个往里钻，既没有发挥学既没有发挥学生的主动性，也没有让学生顺自己的思路去进行探索和发现。在这样的探究活动中，学生只是扮演了“操作员”的角色，没有成为真正的发现者。学生的思维实际上是被动的，是受老师控制的。
案例2:则是顺着学生的思路在进行，构成了“思想——探索——验证——归 纳”这样一条探究的主线。教师鼓励学生用自己的思维方式大胆提出猜想，使学生对平行四边形的面积产生三种不同的答案。然后教师让学生在这样的三岔路口自己去探究，自己去发现，想办法寻找哪种答案是正确的，让学生在主动参与和积极发现中培养自主意识和创新意识。但我觉得这份案例如果能进一步给学生一个更大的空间，驱动学生主动思考、主动参与，让学生真正地去发现问题、参与思考，让数学思维的发展落到实处，教学会更有效。
案例3:教师不仅关注学生的提问题，还帮助学生产生更多的问题，解决更多的问题，使学生的思想更活跃、更丰富。放手让学生独立思考、大胆尝试解决新问题、再进行想法的交流和思维的碰撞，让学生真正地产生问题 。如：两个图形哪个面积大？怎样计算纸上平行四边形的面积？给足够的时间让学生量、计算，进行独立自由地思考和大胆地尝试。结果学生中出现了面积是 35 平方厘米 、21 平方厘米等不同的答案。答案的对错不重要，重要的是，它们是产生新问题的重要因素。因为出现了众多不同的答案，才会促使学生的自我反思，才会引起学生对他人想法的质疑，新问题从中不断生成：同一个平行四边形，它的面积只可能有一个答案，正确的答案到底是多少呢 ？用割补平移成长方形算出21平方厘米是正确的，那用拉转成长方形的方法算得35平方厘米为什么是错误的呢？周长相等的平行四边形的面积也相等吗？拉转过程中导致面积大小发生变化的原因在哪里，等等。这些问题才真正是学生自己的问题，只有是学生自己的问题，才会有学生真正的参与，也才会有学生的真正的思考。更要的是，学生发现问题 、提出问题、验证分析问题的能力在这一过程中得到培养。
同时在案例3的教学中教师十分重视培养合情推理的能力。一是有足够的时间让学生独立思考、形成自己的想法 ；二是让学生充分表达自己的想法，教师不做裁判以引发学生间的争议：三是引导学生进行质疑，对猜想所得的结论进行验证；四是让学生“回头看走过的路”，对探索过程进行反思。课中那“拉转成长方形”的合情推理，教师没有直接给予否定，而是顺着他们的观点向其他同学提出质疑 ：“似乎有道理”。以此来激发学生深入思考：那一个平行四边形，它的面积怎么有两种结果，哪种正确？顺势用已有的数格子方法验证，再次通过观察、操作、对比找两者之间的关系。反过来学生通过对不断“拉转”着的平行四边形进行观察、比较，从“变化”中找到了“不变”，即“变化”的是“拉转”所得的这些平行四边形的面积，“不变”的这些平行四边形的面积大小总是与它的底和高有关，从而不仅揭示出平行四边形面积的计算公式，而且对转换化归思想中的“守恒性”有着深切的体验。同时，学生还学习着用归谬的方法（即不断地拉转平行四边形 ，使其面积不断地向0逼近）对原先错误的想法进行自我否定。另外，无限逼近的思想、从特殊推向一般的思想在探究活动的过程中也为学
生所体验 。
整个探究平行四边形面积计算的过程，是一个不断发现、提出问题和分析、 解决问题的过程，又是一个进行合情推理和演绎推理相结合的过程。学生从中不仅获得了数学知识技能，而且学习了数学抽象、数学推理、数学转化这些数学的基本思想；积累了数学活动的经验（特别是对合情推理的结论必须进行验证的思维经验）；培养了学生坚持真理，修正错误，严谨周密，实事求是的科学态度。在教师的引导下，孩子们拥有了心中真正的问题，从而积极认真地去参与，真正主动的去思考、真真切切地去领会数学知识深化发展的动态过程，获得了真正的成功，将终身受益！
