摘 要: 本文从线性空间的角度，讨论了线性方程组的解空间的一些基本性质和特征,从而加深对齐次线性方程组的解的进一步理解.
关键词: 线性方程组;解空间.
线性方程组分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。解线性方程组是《高等代数》课程中一个主要内容，也是学习的重点、难点。而掌握齐次线性方程组的解法，可以帮助对非齐次线性方程组的解的理解。当齐次线性方程组有无穷多个解时，我们就有必要研究解集的性质和特征。我们从线性空间的角度，归纳和总结了齐次线性方程组解空间的性质和特征。
定义1: 齐次线性方程组
?住s×nXn×1=0 (1)的所有解构成的集合称为(1)的解空间,其中?住s×n为s×1系数矩阵, Xn×1为n×1维矩阵. (1)也称为
?住s×nXn×1=B n×1 (2)的导出组.
定义2[1]： 齐次线性方程组 (1)的一组解n1,n2,L,n1称为 (1)的一个基础解系,若n1,n2,L,n1线性无关且 (1) 的任一个解都能表成n1,n2,L,n1的线性组合.
注1: 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
定理1[1]: 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r, 这里r为系数矩阵?住s×n的秩.
性质1[1]: (1)的两个解的和还是方程组 (1)的解.
性质2[1]: (1)的一个解的倍数还是方程组 (1)的解.
注 2：由性质1,2知, (1)的解的线性组合还是方程组 (1) 的解.
性质3[1]：线性方程组 (2)的两个解的差是它导出组 (1) 的解.
性质4[1]: 线性方程组 (2)的一个解与它的导出组 (1) 的一个解之和是(2) 的一个解.
定理2[1]: 如果Y0是方程组 (2) 的一个特解,那么方程组 (2) 的任一个解Y都可以表成Y=Y0+n,其中n是导出组 (1) 的一个解.因此, 对于方程组 (2) 的任一个特解Y0,当n取遍它的导出组的全部解时, 我们就得到了 (2) 的全部解.
定理3: 齐次线性方程组 (1) 的解空间为线性空间.
证明：设齐次线性方程组 (1) 的解集为W , 显然W?奂Pn其中Pn为n维向量线性空间. 由性质(1), (2) 知, W对加法和数乘运算封闭, 故W为Pn的子空间, 因此为线性空间.
注2:非齐次线性方程组 (2)的解空间不是线性空间.
定理 4: 齐次线性方程组 (1) 的解空间的维数为n-r, 这里r为系数矩阵As×n的秩.
注3: 齐次线性方程组的基础解系事实上就是其解空间的基，从而说明基础解系具有非常重要的作用。
总结
本文给出了线性方程组解集的一些基本性质,最后从线性空间的角度来理解齐次线性方程组的解集的结构,事实上齐次线性方程组的解空间就是n维向量线性空间的一个子空间，而基础解系就是解空间的基.从而将线性方程组的知识和线性空间的知识紧密的联系起来，为进一步理解线性方程组的线性空间、子空间等抽象定义提供了具体、实际的例子。
参考文献
[1] 王萼芳，石生明. 高等代数(第三版)［M］. 北京: 高等教育出版社，2003.
作者简介: 蔡钢(1984-),男,重庆巴南区人,副教授,博士,主要从事泛函分析研究.
