摘 要：作为理工科各专业必修的基础课程，常微分方程的教学效果至关重要。为了培养学生对常微分方程课程的兴趣，本文将阐述背景介绍的重要性。此外，针对理解定理证明这个普遍的难点，本文将介绍倒序证明法。针对数学专业的同学，我们认为在某些证明中适当地提高观点是十分必要的。本文将在最后说明如何通过引入更加深刻的数学工具去完成常微分方程中某些定理的证明。
关键词：常微分方程；背景介绍；倒序证明法；提高观点
由于在物理、化学、生物、通讯和计算机等领域中的应用[1,2]，常微分方程已经成为理工科各专业必修的重要基础课程。因此，十分有必要让学生掌握好常微分方程相关知识。无论学习任何一门课程，兴趣是第一位的，常微分方程自然也不例外。我们将首先阐述在常微分方程课程中背景介绍的重要性。此外，长期的教学经验表明，理解数学定理的证明对学生来说是一个普遍的难点。本文将针对常微分方程课程中线性微分方程组解的存在唯一性定理的证明介绍倒序证明法。针对数学专业的同学，我们认为在某些证明中适当地提高观点是十分必要的。本文将在最后举例说明如何在证明中通过引入更加深刻的数学工具。
一、背景介绍
针对某一门课程，引起学生兴趣的最好办法就是让学生知道这门课程所涉及到的知识有什么用、如何用。因此，在讲授常微分方程的过程中，我们特别强调背景介绍的重要性。常微分方程在各个学科中都有广泛的应用，教师在讲授高阶微分方程这一部分内容时，应该至少花一个课时的时间去详细讲解其中的质点振动方程和第二宇宙速度的计算。这样会让学生们惊奇地发现原来熟悉的共振和第二宇宙速度等熟悉的物理概念来源于微分方程的解。另外，在讲解非线性微分方程的稳定性这一部分内容时，应该介绍一些生物数学和物理学的知识，如Volterra-Lotka捕食方程和Van der Pol方程等。这样，便于让学生真真实实地看到微分方程在其它学科中的巨大威力，激发他们的兴趣。
二、 倒序证明法
数学定理的证明是数学学习中最为重要的部分之一，但往往也是学生最为头疼的事情之一。为了逻辑上的严谨，一般的教学方式为按照书本上的顺序依次讲解。这样做的不足之处在于，数学证明往往很枯燥，在说明一个结论前需要引入大量“莫名其妙”的记号和阶段性结论。学生会觉得完全不知道在说什么，也不知道它们和后面的证明有什么关系，大大地降低了学生听课的效率。另外，就算学生耐着性子把全部证明听完，弄清楚了其中所有的技术细节。但是仍然无法全局性地掌握整个证明的思路，等过一段时间便会完全忘记该证明，同时也不利于培养学生解决问题的能力。对某些证明来说，好的方式是所谓的倒序证明，即首先揣摩证明者的思路。然后按照他的思路从书本上证明的中间或者后面开始进行讲解，向学生呈现解决该问题的整个思维过程。
以线性微分方程组解的存在唯一性定理的证明为例。若按照课本[1]上的顺序，一开始便直接引入范数和一致收敛等概念，便会让学生不知所云，失去听课的兴趣。较好的做法应该是首先把微分方程转换成相应的积分方程，告诉学生该积分方程的解可以通过构造函数序列，使用逼近法求得。这样一下子就让学生知道了该证明的核心方法。然后，再说在逼近法中由于需要证明函数序列的收敛性，因此需要引入范数和一致收敛等概念。这样便让学生觉得很自然，也容易理解。
三、提高观点
数学证明往往有多种方法。还是以线性微分方程组解的存在唯一性定理的证明为例，可以使用上面提到的逼近法，也可以使用不动点定理去证明[2]。后者涉及到泛函分析的知识。虽然在学习常微分方程的时候往往还没有开始学习泛函分析，但由于不动点定理的引入相对简单，因此针对数学专业的学生可以额外地介绍这种方法。这样做的好处在于，可以扩展学生的知识面，让他们提前接触到更加深刻和抽象的数学工具。在此过程中，学生可以体会到抽象的数学工具能使得证明更加简洁。在以后学开始习泛函分析的时候，也不至于完全摸不着方向。因此，在常微分方程的课堂适当地提前引入一些更加深刻的数学工具，不仅有利于常微分方程的学习，也可以为以后的课程打下良好的基础。
四、结束语
综上所述，作为理工科学生的一门重要基础课，常微分方程课程的学习十分重要。教师在课堂上需要综合运用多种教学方式，以尽可能地使学生感兴趣，并投入足够多的时间和精力到学习中去。
参考文献
[1] 王高雄 等. 常微分方程（第三版）[M]. 高等教育出版社，2006.
[2] 张伟年 等. 常微分方程[M]. 高等教育出版社，2006.
