摘 要：数列求通项公式是高中数学的重、难点之一，既要要熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式，也要掌握非等差、等比数列的通项公式的求法，本文介绍两种非等差、等比数列的求数列通项公式的方法。
关键词：数列 通项公式 Sn求αn 构造法
数列求通项公式问题是数列的基本内容之一，也是历年高考必考的内容，首先要熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式，常用的求通项公式的方法有公式法、累加法、累乘法、已知 Sn求an，构造法等，下面重点介绍已知 Sn求an，构造法求数列的通项公式.
一、已知数列{an}的前n项和S，求数列{an}的通项公式
例1(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n，求{an} 数列 的通项公式 .
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+3,求 数列{an}的通项公式 .
(3)已知数列{an}的前n项和Sn=6n+b,求 数列{an}的通项公式 .
(4)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+6,求 数列{an}的通项公式 .
(5)已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)/n,求 数列{an}的通项公式 .
解：（1）当n=1时，a1=s1=4
当n≥2时an=sn-sn-1=n2+3n-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2
a1=4符合此等式，所以an=2n+2
（2）当n=1时，a1=s1=7
当n≥2时an=sn-sn-1=n2+3n+3-[(n-1)2+3(n-1)+3]=2n+2
a1=7符合此等式,所以an=
（3）当n=1时a1=1时a1=6+b
当n≥2时a=sn-sn-1=6n+b-(6n-1+b)=5×6n-1
当b≠-1时，a1符合此等式.
当b≠时，a1不符合此等式.
所以当b=-1时，an=5×6n-1
当时，b≠-1时,an=
（4）当n=1时a1=9
当n≥2时an=sn-sn-1=3n+6-[3(n-1)+6]=3
a1=9不符合此等式，所以an=
（5）当n=1时a1=2
当n≥2, an=sn-sn-1=n+1/n-n/n-1=-1/n(n-1)，
a1=2不符合上式子，所以an=
归纳拓展：已知数列{an}的前n项和sn，求数列{an}的通项公式的步骤：
（1）先利用a1=S1求出a1；
（2）用n-1替换中的Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2时an的表达式；
（3）对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则可以把数列的通项公式an= 形式.
变式训练：已知下面数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式
(1)Sn=2n2+6n （2）Sn=2n2+6n+3（3）Sn=2n+b（4）Sn=8n+1
例2（1）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(n≥1且n∈N+),
求数列{an}的通项公式.
（2）已知数列{an}中，a1=1，数列{an}的前n项和Sn满足
an+1=3Sn(n∈N+)
求数列{an}的通项公式.
解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1+1∴a1=-1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1)2an-2an-1
∴an=2an-1∴an/an-1=2
数列{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列an=-2n-1
（2）当n=1时，a1=1,a2=3a1=3
当n≥2时,an+1=3sn,an=3sn-1,两式子相减得 an+1-an=3an,
∴4an=an+1 即an+1/an=4， 又a2/a3=3≠4
∴数列{an}是以a2为首项，4为公比的等比数列时，∴n≥2时,an=3×4n-2
∴an=
例3：已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=-10，对任意n∈N+,都有nan+1= Sn+n(n+1) ，求数列{an}的通项公式.
解：∵nan+1=Sn+n(n+1)∴n≥2时,(n-1)an=Sn-1+(n-1)n
两式相减得nan+1-nan=2n∴an+1-an=2，又∵a1=-10
∴ 数列{an}为首项为-10，公差为2的等差数列，
∴ an=-10+(n-1)×2=an-12
归纳拓展：在已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式的过程中大胆利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，得到想要的信息（等差或者等比数列），进而求出数列{an}的通项公式.
变式训练：1.已知数列{an}满足各项都是正数，其前n 项和Sn满足 2Sn=an2+an(n∈N+) 求数列{an}的通项公式.
2. 已知数列{an}中a1=1/3，其前n 项的和Sn满足Sn=n(2an-1)an，
求数列{an}的通项公式.
提示：利用an=Sn-Sn-1(n ≥2)后得到an与an-1的关系式后利用累乘求通项公式.
二、构造法求数列的通项公式
例题1.已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an/an+2求数列{an}的通项公式.
解：∵an+1=2an/an+1，∴1/an+1=an+2/2an=1/an+1/2
∴1/an+1-1/an=1/2 ，又∵1/a1=1/2
数列{1/a2}是以为1/2首项，1/2为公差的等差数列
∴1/an=1/a1+(n-1)×1/2=1/2+(n-1)×1/2=n/2
∴an=2/n
