摘 要：新课程下的初中数学教材中增加了图形变换的内容，旋转变换为学生解决与研究问题提供了一把新钥匙。旋转变换只是改变了图形的位置，变换前后图形的对应元素大小没有发生变化。图形在的旋转过程中会产生新的等腰三角形，反之如果已知图形中含有等腰三角形，就可以尝试构造以等腰三角形顶角的顶点为旋转中心、顶角为旋转角的新变换。姑且称为“等腰三角形两腰关于顶角顶点旋转重合性”， 这一特征可作为解决某些与等腰三角形相关旋转问题的向导。应用其使研究与解决问题变得简单化．本文从近几年中考试题中采撷几道并对其作简要分析，供大家参考。
关键词：等腰三角形；旋转变换；数学思考；问题解决
引理 等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图1，在等腰三角形ABC中，若顶角∠BAC=α，则有：腰AB与腰AC重合，反之亦然
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合不变性”。
一、直接应用性质
例1（2006·旅顺口区改编）如图（2），△ABC是等边三角形，△ BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN。
（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；
（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
【解析】对于（1），这时在△BDC中，有BD=DC，为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，把△DCN绕点D逆时针旋转120°得到△ DME。如图（1），从而有EB=NC，而此时恰又有△DNM≌△DEM，得MN=ME=MB+BE=MB+CN。
对于（2），此时的如图形2中，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形没有变，仍可继续作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN—BM
【评析】本题综合考查了等腰三角形、正三角形、全等三角形的判定与性质，由于本题的已知条件比较分散，解题思路难以寻找，而已知条件中有一等腰三角形，尝试用 “两腰的旋转重合性”，通过旋转变换实现了对条件的集中，寻找到图形中的全等三角形，从而使问题（1）得以解决。问题（2）是在问题（1）的方法基础继续探究，对习题中的条件进行一般化处理， 即把问题（1）中点M，N两点在线段AB，CA上变为在射线AB，CA上，问题(1)中的结论是否改变，虽然问题（1）中的结论变了但两问题的几何本质并没有改变。
二、构造应用
例2．（2013·德州）（1）如图6，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）如图7，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图8，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
【解析】如图9所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形关于任意顶点的旋转不变性可将△ADC绕点A逆时针旋转60°后与△ABE重合，∠DAB=∠CAE=60°，∠DAC=∠BAE，利用SAS得到△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BE=CD，理由与（1）同理；
（3）根据（1）、（2）的经验，利用△ACE等腰直角三角形已知条件，可考虑把△ABE绕点A顺时针旋转90°的像是△ADC，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长。
【评析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．问题的呈现方式是先通过问题（1）中的作图再到问题（2）的证明，突出研究几何图形遵循特殊到一般的方法，本题设计的三个问题是并列的，前一个问题的解决为后一个问题解决奠定了基础，也为问题解决指明了方向，其无论以AB、AC为边作等边三角形、正方形还是等腰直角三角形，都可通过旋转变换寻找三角形全等问题来解决问题，得到问题（3）的辅助线的做法即把△ABE绕点A顺时针旋转90°像是△ADC，连接CD，问题（3）并不是重复（1）（2）的设问方式，而是一反常态要通过构造以AB、AC为边作两个等腰直角三角形，虽然改变问题的设问方式，但几何本质并没有改变，本题关键是构造旋转变换寻找一对全等三角形是解决问题的。
例3．（2013·绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图11，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图12，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图13，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
【解析】（1）如图11在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，在正方形ABCD中AF=AD，由此想到利用等腰三角形旋转不变性来解决问题，AF绕点A顺时针旋转90°后与AD重合，AC绕点A顺时针旋转90°后与AB重合，即点F与点D重合，点C与点B重合，即可得到△BAD与△CAF重合，即△BAD≌△CAF从而证得CF=BD，据此即可证得CF+CD=BC；
（2）同理可由等腰三角形的旋转不变性，△CAF绕点A顺时针旋转90°后与△BAD重合，可得到△BAD≌△CAF，证得CF-CD=BC
（3）先通过旋转发现△BAD与△CAF重合，再证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，
然后根据正方形性质求得
【评析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用、勾股定理。此题属于探究性问题，第（3）题的难度较大，难在第（1）（2）题的证明方法与思路在第（3）仍然适用，第（1）（2）两问题的解决为后面第（3）问题解决奠定了基础，也为问题（3）的解决指明了方向，不需要填辅助线，虽然改变了条件与设问方式但几何本质并没有改变， 都是借助旋转变换发现全等三角形后再证明三角形全等。由等腰三角形与正方形性质得到相等的线段，通过构造旋转变换寻找到全等三角形，再应用全等三角形的性质-----对应角相等去构造直角三角形来计算线段的长度。无论对知识点考查还是对方法考查的都比较综合，借助旋转变换寻找到全等三角形是解本题的关键。
几何变换为研究几何提供了一个新的思路，旨在让学生从图形变换的角度去认识基本图形，通过图形变换来构造新图形获的新信息从而得到解决问题的策略，等腰三角形两腰绕顶点旋转重合性看似平实，通过对中考试题与中考试题改编的习题分析不难发现无论如何变化，当题目背景中有等腰三角形或者有两条相等的线段时，可考虑应用“等腰三角形两腰的旋转重合性”去解决。应用该性质为解决这类中考试题提供了更一般的解题方法与求解策略。让我们在平时的教学中不断的加强与渗透几何变换思想。
