摘 要：在大学物理教学中简谐振动有三种表示方式：函数表示、曲线表示和旋转矢量表示，前两种表示在中学物理已有学习，而旋转矢量表示是一种新的方式，也是一种直观好用的表示，同时也是学生掌握的难点。本文就这一问题展开讨论。
关键词：简谐振动；旋转矢量；初相位
引言
一个做往复运动的物体，如果在其平衡位置附近的位移随时间按余弦（或正弦）函数规律变化的运动称为简谐振动。简谐振动是最基本最简单的机械振动，是一切复杂振动的基础。简谐振动的表示形式一般有两种：一是函数表示，即定义所反映的位移和时间的函数关系，也称简谐振动方程。二是旋转矢量表示，即通过一个旋转的矢量图形象直观地反映简谐振动的位移和时间的关系以及简谐振动中A，ω和?渍三个物理量的意义。 函数表示公式化较为抽象，对问题的处理往往需要比较复杂的数学过程，增加了学生熟练掌握和灵活运用的难度；旋转矢量表示通过几何方法，便于分析计算，可以帮助学生更直观更形象地了解简谐振动。本文就详细的讲述简谐振动的旋转矢量法表示。
一、旋转矢量表示基本原理
函数表示即位移随时间为余弦（或正弦）函数变化，即，其中A，ω，?渍是其三个特征量，分别表示振动的振幅，圆频率和初相位。
如图1，自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A ，矢量在以匀角速ω绕原点O作逆时针方向的转动，初始时刻，矢量与Ox轴正向的夹角为?渍，这个矢量就叫做旋转矢量。
可见，通过旋转矢量图形象直观地反映了简谐振动三个特征量。
注意，旋转矢量及矢量的顶点M做的是圆周运动，矢量顶点在Ox轴上的投影点做的是简谐振动。如图1，在矢量端点在Ox轴上的投影点记为，根据三角形关系求出。图2，矢量以匀角速度ω逆时针旋转到时刻，这时矢量转过的角度为，矢量与Ox轴夹角为，此时矢量端点在Ox轴上的投影点记为，根据三角形关系可知即简谐振动方程。因此是旋转的矢量端点在Ox轴上的投影点做的是简谐振动。
在教学中大部分同学都能够理解和掌握旋转矢量的基本原理，但是怎样通过旋转矢量法解决问题是大家的难点，要解决这个难点就要了解旋转矢量所表示的质点振动是位移与速度的正负情况。
二、质点振动的位移与速度的正负判断
简谐振动用旋转矢量表示时，位移与速度的正负怎样判断呢？为了便于记忆，我们把矢量所处的平面划分为四个象限，如图3。
根据旋转矢量的基本原理，矢量端点在Ox轴上的投影点运动满足方程。如图3，当矢量旋转到第一或第四象限时，端点或的投影点落在Ox轴正半轴，位移；当矢量旋转到第二或第三象限时，端点或的投影点落在Ox轴负半轴，位移；当矢量旋转与Ox轴垂直时，位移。因此可以通过矢量旋转的位置来判断做简谐振动的质点位移的正负。
由简谐振动方程知，质点运动的速度。如图3，当矢量旋转到第一或第二象限时，矢量与Ox轴正向的夹角范围是，此时，即矢量旋转到第一或第二象限时，速度；当矢量旋转到第三或第四象限时，矢量与Ox轴正向的夹角范围是，此时，，即矢量旋转到第三或第四象限时，速度；当矢量在Ox轴正半轴或负半轴时，速度。
三、旋转矢量法应用
1确定初相位?渍
旋转矢量法求初相位是求初相位的多种方法中最直观形象的一种。
例：一个沿x轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，如果t=0时质点的振动状态为， 求其初相位。
解： 首先确定坐标轴，并以坐标原点O为圆心以A为半径做一个圆，如图4。
根据已知条件，初始时刻知，矢量端点落在Ox轴负半轴。过做一条垂直于Ox轴的垂线，该线与圆有两个交点和，其中一个就是旋转矢量的端点。再根据已知条件确定是矢量的端点。
把坐标原点与链接起来的矢量就是要求的矢量在初始时刻的位置，此时矢量与Ox轴正向的夹角大于取其负角 。因此初相位
2求运动的时间间隔
例：一质点沿x轴做简谐振动，振动方程为经x=4?10-2cos2(πt 1/3π)从t=0时刻起，到质点位置在处x=-2cm，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为：
解：本题要求时间间隔，首先确定两个时刻矢量的位置。
根据振动方程，初始时刻t=0， ，可以确定初始时刻矢量的位置，如图5 。根据例1可以确定质点位置在处x=-2cm，且向x轴正方向运动时的矢量位置，如图5中的 ，由图容易知，从t=0到t时刻，矢量转过的夹角是,因此ωt=π从方程知ω=2π，推知
3比较两同频率谐振的“步调”
例：如图6，两个同周期简谐振动曲线如图所示，的相位比的相位
（A）落后 （B）超前
（C）落后 （D）超前
解：由图6，在初始时刻时，
在初始时刻时，为负的最大位移，为零，下一时刻
根据以上可以画出其旋转矢量图，如图7 。由图7知的相位比的相位超前
用旋转矢量法求解问题的关键是正确确定矢量的位置。
结论
旋转矢量法是一种非常方便直观的方法，掌握了这种方法可以很灵活方便地求解很多问题。因此要加强旋转矢量法的理论教学，使学生能够正确灵活地运用旋转矢量法对问题进行分析和计算。
参考文献
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作者简介：卓亚琦(1976- )，女，讲师，主要研究方向为系统复杂性。
