摘 要：因式分解在初中数学中占有十分重要的地位，笔者联系教学实际论述了因式分解的意义与内容要求，因式分解教材的地位与作用，因式分解教学的要点与方法这三个方面的问题。
关键词：因式分解；教学方法
1、因式分解的意义与内容要求
1.1 对于一个多项式是否能分解因式，不能孤立地来考虑，在不同的数集有不同的结论。为了说清楚这个问题，我们必须引进几个概念。
（1）所谓多项式在给定的数集内讨论，是指这个多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。如多项式的有理数集内讨论，这不仅指给定的多项式的系数要在有理数集内，而且假定能分解的话，所分得的各个因式的系数也要在有理数集内。
（2）当然因子和非当然因子。在中学代数理研究多项式的因式分解，最早是在有理数集内，以后随着数的概念的扩充，扩充到实数集内研究，再扩充到复数集内研究。在这些数集内，任一个多项式总能被该集内的一个非零数整除，而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子。例如在有理数集内分解：
4x2—1=4(x2—)=(16x2—4)=……
这种和原多项式只差一个非零数值因子的多项式，叫做原多项的当然因子。一切其它因子叫做原多项式的非当然因子。如上例中，4，，(x2—)，(16x2—4)?…，是4x2—1的当然因子。而(2x2+1)，(2x2—1)是它的非当然因子。因此我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非当然因子的积来考虑的。
（3）可约多项式和不可约多项式（既约多项式）。类似于除1外的自然数区分为合数和质数一样，我们也可以把多项式区分为可约多项式与不可约多项式。但是，多项式是否可约，也需要联系数集来考虑。如果在指定的数集内，多项式有非当然因子，那么，这个多项式在这个数集内是可约的，否则就叫做不可约。
在复数集内，只有一次式不可约，这就是说，在实数集内，除一次式是不可约的外，二次式也可能是不可约的。在实数集内，一个二次三项式ax2+bx+c(a≠0)是不可约的充要条件是b2—4ac＜0，但是不存在次数≥3的不可约多项式。
如果把单项式看作多项式的特例，那么多项式因式分解的定义应该是：“把一个多项式分解为几个不可约多项式乘积的形式。”由于在这个定义中涉及到不可约多项式，故多项式因式分解与在某一个数集内的讨论有关。
中学课本是如何处理的呢？一方面以“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解”来代替上述的严格定义；另一方面又加了个注意：“分解因式必须分解到每一个因式都不能分解为止。”但交代这个“注意”时要注意两点：①目前学生所掌握的数，还只限于有理数，因此，“分解到每一个因式都不能再分解为止”是指所分得因式的系数是有理数。②等以后学生接触到实数时，这句话就有了新的意义，有些本来认为不能再分解了，而这时还可继续分解。因此交代这个“注意”时，不要把等方面说死了，而要留有余地。
1.2 多项式因式分解的结果，在不计非零常数因子下，除因式排列顺序外是唯一的。
我们知道一个合数分解质因数的结果除顺序外是唯一的，如60=22×3×5=3×22×5=5×3×22。但一个多项式在指定数集内分解为不可约多项式积的形式不是唯一的。如：4x2—1=(2x+1)(2x—1)=2(x+)(2x—1)=4(x+)(x—)=…，这些非当然因子之间相差一个“非零常数因子”。总之，关于多项式因式分解，我们要明确：
①因式分解是相对于某一个数集来说的。中学课本首先在有理数集内讨论；②因式分解一定要表示成积的形式；③分解指的是分解为非当然因子；④分解所得的各个因式，在指定的数集内，都是不可约的，也就是说，尚能分解的还要继续分解下去；⑤分解所得的各个因式必须都是多项式（如果把单项式看成多项式的话）；⑥分解在不计非零常数因子下是唯一的。
2、因式分解教材的地位和作用
多项式因式分解在中学代数课程中占有重要的地位，其作用归纳起来有下面几点：
（1）它是分式里进行约分、通分的基础。
（2）利用因式分解的知识，有时可使某些计算合理、简便。例如：10012—9992=(1001+999)(1001—999)2000×2=4000
（3）因式分解与解方程密切相关。不仅二次方程有时用十字相乘法分解因式要比公式法好，就是有些高次方程或超越方程非要用因式分解法去解不可.
3、因式分解的教学要点和方法
3.1 因式分解的易错处及措施
明确因式分解的意义是学好这一课题的先决条件。学生由于不明确因式分解的意义，而经常出现下列一些错误：
（1）混淆了乘法运算和因式分解。如：x2—25=(x+5)(x—5)=x2—25（分解后又作乘法）。
（2）只“分解”多项式的某几项。如：a2+6a+9=a(a+6)+9.
（3）不知分解到何时为止。尤其把“不会”与“不能”混淆，以为不会分就是不能分了。
3.2 提取公因式法
先讲公因式是单项式的情况，这时提取公因式比较容易，然后在公因式是单项式的基础上讲公因式为多项式的情况。这里分三种情形：
（1）括号内的多项式完全相同，如：(m+n)(p+q)—(m+n)(p+q)对于这类问题学生是不难掌握的。（2）须要改变括号前及括号内各项系数的符号才能提取公因式。如：5(x—y)3+10(y—x)2; x(a—x)(a—y)?—y(x—a)(y—a)等。（3）须加括号后才能提取公因式的，如：b(x—y)?—x+y等。
3.3 公式法
根据前面分析，课本中还是列出八个公式为好。这里特别要指出的是，我国最近几年的初中数学教材中将“十字相乘法”这一重要内容删除，是不妥的。许多教师在课堂上补充了这一内容。
应用公式法分解因式的前提是首先要分清各公式的项数、指数、系数、符号等特点，并把容易混淆的公式加以比较。在讲授用各个公式分解因式时，不妨先类似于课本例题，用箭头把所要分解的多项式的各项与公式中的各项“对号入座”。然后指出公式中的字母可代表数、单项式和多项式。在讲解程度上宜由简到繁；可先着重直接应用公式；其次需交换某项位置的；再进一步是连续应用公式的；最后与提取公因式一起综合应用公式。
3.4 分组分解法
分组分解法不是一种独立的方法，无非就是适当添括号、组合，或连续提取公因式，或适当分组使用公式，因此不宜花费过多时间。
