坚守学生立场 回归概念本质 ——《正比例和反比例的认识》的教学实录与思考

一、教学内容

人教版六年级下册第四单元《比例》中第二部分内容正反比例。

二、教材与学情分析

《正比例和反比例的认识》是小学数学人教版六年级下册第四单元《比例》中第二部分的内容，属于数与代数中知识中“数量关系”这一主题。教材结合比例的意义和基本性质、解比例这一知识背景，以文具店中出售彩带的情景引出数量与总价之间的对应关系，揭示正比例与日常生活的联系，通过观察表格中的数据和思考给定的三个问题，让学生辨别变化的量，理解变中有不变的数学思想，尝试脱离情景，抽象概括正比例的意义，实现由具体数量关系到一般化抽象模型的转化。

三、教学实录

（一）常规积累，激活经验

师：我们已认识了很多不同的数量关系并应用数量关系解决实际问题，在这些数量与数量之间有什么变与不变的规律，隐藏着那些与比例相关的知识？下面请同学们读读例子材料，边读边找出题中有哪些数量。

生：边看课件边回忆所学过的数量关系，读材料。

设计意图：整体进入，为学生提供丰富的和、差、积、商一定的不同情况的数量关系，不止拘泥于比值一定、积一定的情况，初步感知两种量的一些变化规律，放手让学生自己探究发现。

（二）观察表达，揭示“关联”

1.初次分类，揭示意义

师：以 S = 60t 为例，当 t发生变化时，S 会如何变化呢？ 

生：路程随着时间的增加而增加。

师：大家都发现了时间增加，路程也随着增加，我们可以这样用向上的箭头表示。那么其它材料中，一种量变化了，另一种量会怎样变化的呢？请同学们根据表格中的数据，观察两种变量之问的变化，分别用这样向上或向下的符号在数量关系式上写一写。 

生：学生尝试用向上或向下的符号在数量关系式上写一写，发现时间增加时，高度有时高，有时低。 

师：同学们都用符号表达出了两种变量之问的变化关系，仔细观察，两种量的变化情况可以分成几类？说一说你是按什么标准分的？ 

生：有3钟变化情况，①③⑤⑧同时增加，②④⑥⑦一增一减，⑨一种增加，一种有时增，有时减。

小结：两种数量的变化情况一共有三种，今天我们主要研究一种量增加，另一种也增加以及一种量增加，另一种量减少这两种情况,最后一种情况到中学会进一步研究。

2.对比分类，凸显本质

师：刚刚我们关注的是两种变量之间的变化情况，那么这里不变的量有什么特点?请根据式子中不变量的特点，把这两类再次进行分类。

生：①③⑧乘数不变，⑤差不变，②④⑥积不变，⑦和不变。

师：乘数不变也可以改写成商不变，请同学尝试改写。

师：两种相关联变量之间的变化情况还可以分为积一定，和一定，比值一定，差一定的情况，小学阶段我们主要研究积一定和比值一定的情况，和一定和差一定以后再进行研究。

(四)引导建模，深化理解

师：关注比值一定(出示表格)当时间t是1时，路程s是60，那就是60/1，60/1=120/2=180/3=240/4……=60。每两个比的比值不变,都是60，所以能组成比例。左边同学验证③n/c=1.5，右边同学验证c/a=4。 

生：尝试验证。

师：当两个相关联的变量，一个量在增加，另个量也随着它的增加而增加，并且比值一定，我们称这两种变量成正比例关系。

辨析：X- Y =26，是否成正比例关系?

生：不是成正比例关系，因为它的比值不一定。

师：关注积一定，当a是1，b是24，那就是1×24，2×12=3×8…=24。积不变，是比例式的变形，可以组成比例。当两个相关联的变量，一个量在增加，另一个量随着它的增加而减少，并且积一定，我们称这两种变量成反比例关系。

辨析： a＋b=200,是否成反比例关系？

生：不是成反比例关系，因为它的积不一定。

追问：两种相关联的变量，什么情况下成正比例关系，什么情况下成反比例关系？

生：变化相同时，比值一定，他们成正比例关系；变化相反时，积一定，他们成反比例关系。

师：生活中还有很多正比例与反比例关系的量，像这样的例子是举不完的。我们可以用字母来概括，如果用x、y表示变量，k表示确定的量，你会用字母式表达吗？

生：正比例关系，x/y=k(一定）k≠0；反比例关系，x×y=k(一定）k≠0。

设计意图：通过两次分类，揭示量的变化规律，加强正反比例意义的对比辨析。在分类过程中，教师引导学生着眼变与不变，尤其关注变化的方向，由“反”凸显“正”，让学生自主发现，找出积一定的情况和比值一定的情况，通过具体的情境感受正比例关系和反比例关系，建构模型思想。

四、教学实录反思与总结

《正比例和反比例的认识》这一课的教学设计与课堂互动,通过个例与枚举、符号与表达、分类与比较、猜想与验证等多种学习活动把学法指导贯穿于始终；相机点拨，关联递进，让学生主动经历知识与方法结构的形成过程；归纳提炼，及时总结，帮助学生梳理学习过程和习得自我较正的学习方法；巩固迁移，发展延伸，引导学生发现并获得概念知识的一般学习方法。使学生对学习方法的认识和构建经历从整体到局部，再从局部回到整体的完整过程，让学生获得素养的提升。

（一）整合教材，丰富素材，让学生拥有关系的目光

再者，丰富素材，加深整体感悟。学生的困难在于教材限于篇幅，例子材料非常狭窄单一，而体会函数思想需要丰富的情境，学生需要在这些情境中，感受到生活中存在着大量变量，变量之间是存在一定关系的，因此教学必须要为学生丰富学习材料。在正式学习正比例、反比例之前，学生就得先认识两个相关联的变化的量，所以在课的开始通过多种材料并贯穿全课，高效使用素材，使学生体会变量的存在和变量之间相互依赖的关系。

（二）对比分类，点拨辨析，让学生领悟比例的内涵

数学学习的过程是不断抽象、建模的过程。通过对比分类，深挖概念本质，如通过两个相关联量的变化情况进行第一次分类：“同学们都用符号表达出了两种变量之间的变化关系，仔细观察，两种量的变化情况可以分成几类？说一说你是按什么标准分的？”。然后再通过不变量的特点进行第二次分类“刚刚我们关注的是两种变量之间的变化情况，那么这里不变的量有什么特点？请根据式子中不变量的特点，把这两类再次进行分类。”通过两次的对比分类，揭示量的变化规律，加强正比例和反比例意义的对比辨析。在分类过程中，教师引导学生着眼变与不变，尤其关注变化的方向，由“反”凸显“正”，让学生自主发现，找出积一定的情况和比值一定的情况，通过具体的情境感受正比例关系和反比例关系，建构模型思想。

（三）亲历过程，抽象概括，让学生深入概念的本质

注重学法指导，让学生经历知识形成与方法结构的过程，在充分为学生创造主自学习条件的同时，更要指导学生学会对自已的学习过程进行了解、分析与反思：“我”是如何学的、过程和方法怎样、进行自我检查、自我校正、自我评价。

本课中，运用了大量的事实材料并设计学习活动让学生经历感知、辨析、比较、归纳、表达，帮助学生学会透过事实材料的表面现象发现其本质特点，使学生逐步形成由表及里发现本质的数学眼光，在经历运用符号作标记与分类比较，归纳概括和抽象命名中逐步提升学生准确、简练严密的数学语言表述水平。学生在经历个例与枚举、分类与比较、猜想与验证等多种学习活动后，每个环节的教学都开展知识与学法的归纳小结，尤其在最后课堂的总结与回顾，帮助学生梳理整节课的学习过程和自我较正学习方法，大大增强学法指导的效果。

纵观全课，我们坚守学生立场回归概念本质，从“如何教”向“如何学”转变；从学科知识本位向学生本位转变；让师生在课堂教学活动中相学相长。

参考文献

[1]中国人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]张向众，叶澜.新基础教育研究手册[M].福建教育出版社，2014,2-10.

[3]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福建教育出版社，2017,177-182.