让学生学会在运算中说理

引言

随着信息化时代的到来，各类算法已然成为科学、技术、工程领域解决问题的基本工具，运算占据数学学习的“半壁江山”。运算能力作为核心素养的主要内容在《2022版义务教育新课标》中赋予了更高的要求——“了解代数推理”，理解运算对象、运算律、运算规则的关系，感悟运算的一致性。学生不仅停留在会算的层面，更要理解数学运算背后的本质，知其然更要知其所以然。数学算理层面上的运算推理才能够实现底层框架的搭建，揭示各类复杂运算的一致性，回归本源，建构数学知识间的整体性逻辑。

伴随着《2022版义务教育新课标》的正式出台，新一轮的课程改革迫在眉睫。其中，新课标中对初中阶段数与代数的内容提出了新的要求——“了解代数推理”，旨在通过大量的代数运算素材，培养学生的代数推理能力，而不仅仅将推理能力的培养放在“图形与几何”领域。

在大多数人的认知中，推理只存在于几何，代数更多侧重于运算。因此在教学中教师容易将代数运算程序化，通过例题归纳小结步骤，练习熟悉巩固程序，忽略了学生对代数说理的需求。经常出现教师苦口婆心，反复强调，学生我行我素，依旧算错的状况。学生出错的问题，除了本身运算能力有待提高外，对算理的不理解、不运用、不思考也是主要原因。

以分式为例，学生经常将分式化简与分式方程混为一谈，对什么情况下去分母，什么情况下通分搞不清楚或者通过强化练习，形成解题记忆，当时很清楚，时间久后又忘记。归根到底，是不理解其中的算理。

下面以一节分式混合运算习题课为例，谈谈在运算中说理的重要性。

题目：化简  (m+2+■)·■

某位学生的运算过程如下：

（m+2+■)·■=m·（m+2+■)·■=（m2+2m+1)·■,

给分式乘以了m，目的是去掉■中的分母m。

部分学生表示认同，另一部分提出质疑：乘完m后，■中的分母没有了，但是整个分式的值变为原式的m倍，等号不能成立。分式的性质是给分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的数或式，分式的值不变；等式的性质是给等式两边同时乘以或除以一个不为0的数或式，等式仍然成立。

分析学生出错的原因，主要在于对分式的基本性质和等式的基本性质产生混淆，学生对基本的算理没有理解，仅仅记住了可以同时乘以或除以一个不为0的数，却没有搞不清楚适用的对象，使得运算成为程序化的步骤，机械、单调，缺乏趣味性与探究性，知其然却不知其所以然，没有理解分式化简背后隐含的数学本质。

课堂中，对于刚才学生的错误形成共识后，有学生提出虽然刚才算理错误，但是可以顺着这种思路改进，分式乘以m后，再乘以■，在去掉■中分母m的同时，保证了分式的值不变。

即m·（m+2+■)·■·■=（m2+2m+1)·■·■,运用乘法对加法的分配律，先将m乘进小括号中，达到去掉■中分母的目的，省去了通分的步骤，再继续运算。

接着，一位学生提出了更为简洁的方法，不需要乘m以后，再乘以■，观察题目发现■的分子即为m，将分子先乘入到小括号中的每一项就能够去掉■中的分母，即（m+2+■)·■=m·（m+2+■)·m·■=（m2+2m+1)·■,这样一来，运算更为简便，既不需要通分，也不需要乘以■。

两位学生的方法逐步完善，第一位学生在理解分式基本性质的基础上，通过乘以■使运算得到了简化，形成了在不通分的前提下，进行此类运算的通用方法；第二位学生则是在此基础上，加入了对式子的观察，将观察特征作为计算的首要步骤，达到了更为简洁的效果。

课堂上两位学生的思考也引燃了其他学生的思维的火花，学生们自发列举了其他一些可以类似这样计算的例子：

(1) (1-■)·1-■);

(1){■-a-1}·■;

(3){■+x+2}·■;

这节习题课，从学生对分式基本性质和等式基本性质的混淆出发，让学生自主辨析存在问题，学生在自我辨析中明确了两者的区别与本质。在充分理解算理的基础上，进一步修正了错误，寻找到更为简洁的运算方法，并将这一方法迁移到其他题目中，使分式的混合运算不仅仅是按照通用步骤：先对小括号内的异分母分式通分加减，再进行乘除运算，而是依据题目中的分式特点，运用运算律，遵循算理，灵活地对运算进行简化。

初中数学学习中，类似于分式化简与分式方程的运算困境多不胜数。幂的相关运算、整式乘法公式、因式分解化简......运算对象的相似性、运算应用的综合性，要求学生必须在深刻理解算理与运算律的基础上开展学习，实现从学会向会学的转变。

从最初的按照既定步骤会运算，到最终能够灵活运用运算律、遵循算理会简算的过程，是学生从接受知识向能力提升逐步发展的素养进阶提升。在这一过程中，蕴含了学生对数学运算对象的观察、思考，对数学算理的推理、应用，以及对数学方法的优化性选择，使数学运算不再是枯燥乏味、一成不变的机械操作，而是建立在敏锐观察与算理、运算律综合应用基础上的个性化处理。

整个课堂围绕学生的真实生成，将真问题作为课堂的学习素材，使运算习题课充满了数学的探究味、发现的乐趣味以及创新的简洁味，核心素养悄然而生，这才是以结构化数学知识主题为统领，拥有数学韵味的思维性课堂！

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京师范大学出版社,2022.

[2]史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京师范大学出版社,2022.

[3]黄玉华.“高立意”下的章节统领课j教学实践与思考——以“分式”教学为例[J].中学数学（初中版）,2017（12）：23-25.