一类柯西变形基本不等式的推广及应用

关键词：柯西不等式；不等式应用；凑方不等式一、不等式简介

所学过的不等式中，比较常用的有基本不等式，均值不等式，柯西不等式等等，他们是构成高中不等式的基石，本文我们给出一个形式比较简洁并且有极具有观赏性的不等式

                           ■+■ ≥■(x,y∈R＋)   .       （1）

此不等式在高中解题中占有重要的地位，是由基本柯西不等式变化所得，我们称为凑方不等式（右边的分子凑成平方的形式），特别是对有分式不等式的证明和运算更是得心应手，对于一些竞赛题目也会游刃有余，记住并灵活运用能事半功倍，下面给出简单的证明。由参数的非负性条件可知，

        ■+■ ≥■▁(x+y)(ya2+xb2)≥xy(a+b)2

也即是y2a2+x2b2≥2xyab，由基本不等式可知不等式（1）成立，且当ya=xb时，不等式取等号。下面取一些特殊值，来看看不等式有哪些变式。当x=y=1时，不等式（1）就变为a2+b2≥■ ，这是常见不等式；当x=■，y=■时，不等式（1）就变为2a2+3b2≥■，能把系数不同的平方和的形式转化为和的平方形式，能极大的简化等式或者不等式； 令x=■，y=■，当 x+y=1时，也即是■+■=1时，不等式（1）就变为pa2+qa2≥(a+b)2。还可以得出很多这样的结论。

我们可以把此不等式推广到一般的形式：对任意两个实数列(a1,a2,......an)和(b1.b2.....bn.)，其中我们可得到：

二、不等式的应用举例

例1. ( 第二届“友谊”杯国际数学邀请赛题)已知 a,b,c,∈R+，求证：

■+■+■ ≥■  ，

证明：因为a,b,c,∈R+，由（2）式可得

■+■+■ ≥■ =■。

原不等式得证。

例2.（第11届“希望杯”）设a﹥b﹥c, 证明：

■+■≥■

证明：由条件可知：a-b﹥0，b-c﹥0 , a-c﹥0. 

应用不等式（1），我们有  

                   ■+■≥■ =■.

命题得证。

例3. 　设x1x2.....xn∈R＋，求证：

 

所以命题得证。

三、结论

本文考虑了一个凑方不等式的应用，是柯西不等式或者平均不等式的一个推广，对于求解不等式问题起个管中窥豹，抛砖引玉作用。通过以上几道不等式的证明和求解，我们看到一些问题相对容易解决，体现了此简洁不等式的生命力，另外此不等式还可以再进行推广更一般的形式,请参考文献[1,2]，本文就不再探索研究，通过对课本知识的扩展能促使学生提高推理和解题计算能力，还极大的提高了对数学的理解和认识。

参考文献

[1] 杨飞， 从一道习题到两个优美的不等式， 数学通报， 1999， 9. 

[2]李调惠， 一类不等式的证明，数学通报， 2000, 8.

[3]匡继昌，常用不等式（第三版），山东科学技术出版社.

[4]罗建，古玲玲，陈晓春， 柯西不等式的一个变式的推广及应用，数学教学， 2022, 10.