图像·函数：大单元体系下函数图像变换重构的研究

一、问题的提出 

在函数教学实践中，我们经常发现如下的教学瓶颈：学生求解全等变换（平移、轴对称、或者旋转）后图像的函数解析式时，表现出书面过程繁琐，计算量大，出错率高.即便教师普遍告知图像平移法则【左加右减，上加下减】，但由于未进行系统推理，并予以并形成重点结论概念，因此学生未理解掌握，进而在实际操作中生搬硬套，甚至也经常出现与“已知点的左右平移对应的坐标变换规律”混淆.也因此造成教师，这类的解题教学效果一般，况且涉及其他的全等变换时，平移法则更不能适用了.

基于这种情况下，笔者从一次函数和二次函数的“平移、旋转、轴对称”变换为例，通过普通教材设定的对应解法和“图像映射”的方法，进行系统比较，逐步让学生理解任意函数的任意全等变换的通解通法，从而让学生重新认识图像与其解析式的关系，即“图像解析式是对图像的点的坐标特征的描述”，不仅函数可以有图像呈现，一元（或二元）方程、一元二元不等式也可以呈现其对应图像成图像.本文只限于研究图像变化与函数解析式变化的关系.

二、发现与辨析

全等变换可分为：平移变换、旋转变换、轴对称变换.初中阶段的全等变换，变换对象基本局限于“一次函数、二次函数”，极少涉及反比例函数（反比例函数经过平移变换后会与坐标系有交点，这块内容在高中研究）.变换内容，旋转变换基本限定在旋转180°、或者90°；轴对称变换的对称轴基本设定为水平直线或者竖直直线.以下我们先以“一次函数图像的平移”探究函数解析式的变换规律，对比各种解法，引导学生全方位理解函数图像本质.

（一）平移变换

2.1.1【一次函数图像的平移】

例题1.一次函数y＝-2x+4的图象向左平移4个单位，求所得图像对应的函数解析式.

(1)【常规解法】 

解法一【1.选取两个点（任意性，一般选择与坐标轴交点）；2.根据平移条件，确定对应点；3.根据“两点确定一条直线”,利用待定系数法解得解析式】

(2)【“图像映射”法】                    

解法四【分析：由于函数解析式是对图像上所有特征点坐标的特征描述，所以在求解变换后图像的函数解析式时，目标函数的变量应对应变换后图像特征点的坐标.通过“逆”变换，表示原图像特征点的坐标，代入原函数，从而求出新变量的函数关系.】

解：设现函数图像上的点A（x,y）,它由“原函数图像”上的点A0（x+4，y）向左平移4个单位得到.所以把A0（x+4，y）代入原函数y＝-2x+4.所以新函数解析式y=-2(x+4)+4=-2x-4

2.1.2【二次函数图像平移】

例题2.抛物线y=2x2-3x+1向右平移4个单位后，求所得抛物线的解析式.

（1）【常规解法】

解法一【思路：1.把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标；2.求平移后顶点坐标；3.写出新抛物线的顶点式；4.化为一般式】：

（2）【“图像映射”法】

解法二【分析：由于函数解析式是对图像上所有特征点坐标的特征描述，所以在求解变换后图像的函数解析式时，目标函数的变量应对应变换后图像特征点的坐标.通过“逆”变换，表示原图像特征点的坐标，代入原函数，从而求出新变量的函数关系.】

解：设现函数图像上的点A（x,y）,它由“原函数图像”上的点A0(x-4,y)向左平移4个单位得到.所以把A0(x-4,y)代入原函数.所以y=2(x-4)2-3(x-4)+1=2x2-19x+45

(二)旋转变换

2.2.1【一次函数图像的旋转】

例题3.已知l0∶y=-2x+4，根据下列变换：1）绕原点（0,0）顺时针旋转90°；2）绕原点（0,0）顺时针旋转180°；3）绕原点Q（-1,0）顺时针旋转180°.求相应解析式.

（1）【常规解法】

解：1）l0∶y=-2x+4交坐标轴于A（0，4）和B（2,0）.绕原点（0,0）顺时针旋转90°后，A（0，4）和B（2,0）对应点为A1(4,0)、B1（0，-2），由待定系数法可解 得 l1∶y=■x-2

2）同理可得对应点A2（0，-4）、B2（-2，0）,由待定系数法可解A2(0,-4)、B2（-2,0）由待定系数法可解l2∶y=-2x-4

3）同理可得对应点A3（-2，-4）、B3（-4，0）,由待定系数法可解得 A3(-2,-4)、B3（-4,0）由待定系数法可解l3∶y=-2x-8

（2）【“图像映射”法】

原理同例题1、2“图像映射”法的分析.

 

2.2.2【二次函数图像的旋转】

例题4.抛物线y=2x2-3x+1绕Q(-1,0）旋转180°后，求所得抛物线的解析式.

【常规解法】

解法一【思路：1.把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标；2.通过“中点坐标公式”求新顶点坐标；3.写出新抛物线的顶点式（开口方向有变化）；4.化为一般式】：

(2)【“图像映射”法】

解法二：设新函数图像上的点A（x,y）.点A在“原函数图像”上映射点A0与A（x,y）关于Q（-1,0）中心对称，∴A0（-2-x，-y）.所以把A0（-2-x，-y）代入原函数y=2x2-3x+1，得y=2(-2-x)2-3(-2-x)+1化简，得新函数解析式y=-2x2-11x-15.

（三）轴对称变换

2.3.1 【一次函数的轴对称变换】

例题5. 已知l0∶y=-2x+4,根据下列变换：1）沿x轴翻转；2）沿直线“x=1”轴翻转；3）沿直线“y=1”轴翻转.分别求相应解析式.

（1）【常规解法】

解法一【思路：1.先确定原函数图像的特征点（直线与坐标轴交点）；2.求特征点经过对称变换后的坐标；3.确定新函数解析式】

解：如图4.

1)y=-2x+4交坐标轴于A0（0,4）和B0（2,0）.沿x轴翻转后，A0和B0的对应点为A1(0,-4)和B1（2,0），由待定系数法可解得 l∶y=2x-4.

2)l0∶y=-2x+4交坐标轴于A0(0,4)和B0(2,0).沿直线“x=1”轴翻转，A0和B0的对应点为A2(2,4）和B2(0,0)，由待定系数法可解得l2∶y=2x.

3)l0∶y=-2x+4交坐标轴于A0(0,4)和B0(2,0).沿直线“x=1”轴翻转,A0和B0的对应点为A3(0,-2)和B3(2,2)，由待定系数法可解得l3∶y=2x-2.

（2)【“图像映射”法】

原理同例题1、2“图像映射”法的分析.

解法二：1）设变换后图像坐标A1(x,y),则变换“沿x轴翻转”轴翻转”下，对应原图像的映射点为A0(x,-y),把A0(x,-y)代入原函数y=-2x+4得-y=-2x+4,所以l∶y=2x-4 .

2)设变换后图像坐标A2(x,y),则变换“沿直线“x=1”轴翻转”下，对应原图像的映射点为A0(2-x,y).把A0(2-x,y)代入原函数y=-2x+4得y=-2(2-x)+4,所以l2∶y=2x . 

3）设变换后图像坐标A3(x,y),则变换“沿直线‘y=1’轴翻转”下，对应原图像的映射点为A0(x,2-y).把A0(x,2-y)代入原函数y=-2x+4得2-y=-2x+4,所以l∶y=2x-2

三、分析与改进

（一）常规方法的特点和优劣

常规方法的特点是：确定各函数图像上的特征点（如：一次函数图像“斜直线”与坐标轴交点、抛物线定点，抛物线与坐标轴交点），再根据变换法则，找到对应新特征点，然后根据函数性质重新确定函数解析式.

常规方法的优点：学生根据已有的常用“特征点与函数解析式”的联系，容易理解此类解题思路.方法一般能掌握，在时间充裕和计算不复杂的情况下可以正确解答.

常规方法的缺点：1.解答过程的步骤长，基本分三到四步.以二次函数的轴对称变换为例.基本步骤为：①一般式化为顶点式；②获悉“顶点”，根据变换得到“新顶点”；③给出新函数顶点式（根据对称方式，判断开口方向是否变换）；④转化为一般式.尤其是①一般式化为顶点式的计算很可能因为“系数a不是整数1，b不是偶数”设置可能因为a、b都是分数，导致计算烦和难，出错率增高，费时费力.2.不同的函数具有不同的特征点，在做此类题时，需要全面掌握各个函数的各种形式和特征点的关系，技术门槛稿.

（二）“图像映射”法的特点和优劣

“图像映射”法的定义：

问题：函数n(m)图像经过全等变换后的图像对应函数为y（x）,求 y（x）.

“图像映射”法的步骤：①令“目标函数y（x）的图像上任意点P2(X,Y)”;②根据“变换”的“逆变换”找到P2(X,Y)在原函数图像上的映射点P1(X1,Y1)，或者通俗说“找到P(X,Y)的‘前身’P1(X1,Y1)”.这里一定注意：“X1,Y1”必须是用含“X,Y”的代数式表示.③根据“图像上的点的坐标符合图像解析式”原则，我们可以认为：“旧点带入旧图像，新点带入新图像”，所以把P1(X1,Y1)代入原函数，得到关于“X,Y”的等式，转化为y（x)就可以了.

“图像映射”法的缺点：1.第二步根据“逆变换”，找到新图像任意点在原图像上的映射点.需要学习并掌握“中心对称点坐标特点”、“线段中点坐标与端点坐标的关系”、“轴对称时，与对称轴垂直方向坐标不变性”等重要结论.2.“旧点代入旧函数”后，等式变形，为什么会转化为目标函数？因为“函数是图像上点的坐标特征的数学描述”，由新图像上点的P(X,Y)的坐标“X,Y”参与的等式，本身就是“图像上点的坐标特征的数学描述”，这个理解最难，但是这个理解对于全面理解“代数与几何”的大数学观，有积极意义.{这个难点，在笔者近期的课题中，以校本课程开发的模式，在课堂以新授课形式予以拓展教学.

“图像映射”法的优点：1.过程和模式固定.2.适用性广，能适用所有一致的函数图像变换后的解析式求法.3.计算量小.“图像映射”法，计算简单，转化快，省时，因此在“解决第二步的找映射点教学达成的前提下”，学生采用“图像映射”法的出错率相对较低.

两种方法对比，利用“图像映射”法，能快速解决图像的全等变换下解析式的普遍解决方案.具有“计算快捷性”、“适用广泛性”、“模式固定性”等优点.即便当原函数的特征点是整点，且函数表达式本身就是容易观察出特征点的情况下，“图像映射”法的学习和运用也依然能促进学生对函数图像的深层次理解（函数解析式是对图像上所有点的共同特征的数学描述）.他对于促进学生理解坐标系的变换（以“运动的图像”未参照物的相对论）和相关问题解决提供了很好途径.

四、探究后的思考

（一）关于数形结合的大数学观的认识

本文着重分析了函数（数）的图像与图形（几何）的转换关系.体现了数形的转换思想.但是初中阶段，由于考虑面向全体的因素，课程设计中也没有对数形结合的领域过多的进行展开，没有对“不等式与图像”，“方程与图像”进行简单介绍，从而形成一个对数形结合思想的整体轮廓的理解.作为“抽象”数的代表：数，代数式，函数，不等式、方程，与“有形”的图形及坐标系的相互关系，其实在我们的实际教学中也有涉及.比如“y>0”,就是“水平线y=0的上方”，用“图像与特征点坐标”思想解释就是“所有纵坐标>0的点”，这里对横坐标x没有提及，就是说没有约束，x可以任意取值.当然，二元（x,y）方程也可以理解为坐标特征，与之对应的图像也能显现.而与一次方程就是直线方程，二元二次方程（数）就是对应图像“圆”（形）.在实际解题中，尤其是二次函数应用的优化问题中，涉及两个函数比大小的问题，期间就需要理解图像（形）上下关系所对应的“数”的大小关系.因此，适当给与学生引导，帮助学生更加全面理解数形结合思想的本质和内涵（广义），有助于学生深入掌握，形成较为清晰的数学知识结构，形成良好的数学观，从对数学产生浓厚的兴趣.

（二）关于“此文”研究的后续拓展计划

基层的教师教学研究应当服务于帮助学生掌握解决基本数学问题的能力，拓展学生的解决问题的思路，提高学生的解决问题的能力，提升对学习数学的兴趣和信心.基层的大多数教师教学研究应当着眼于研究“数学教学中长期困扰教师达成教学目标的技术性瓶颈--很难让学生理解和掌握”某类共性的数学问题原因，并努力寻找良好的可操作性普遍解决方案.本着这个宗旨，教师在教学中不断遵循一切以学生为中心，换位思考（从学生角度）作为知识起点，如何帮助学生立足当下，并尝试敢于攀登.不断思考优化教学，总结教学经验，分析教学中的各种不足，思考如何突破这些教学瓶颈.

本文通过重塑“函数←图像”的逆向思维过程，进一步帮助学生理解函数的图像意义及深入理解变换图像的解析式普遍解决方案.它的作用不仅仅局限于书面解决所有图像的所有变换的解析式变化关系，它的最大意义是给学生打开了一条“图像”与“函数（甚至是方程、不等式）”之间转换的双向之门，这对于学生真正理解数学奥秘提供了一个新的角度空间】.它是在现有教材关于“函数→图像”的认识顺序的基础上的有益补充，他的研究价值在于能全面演绎“图像与函数”的双向关系，也能为“图像与等式”“图像与不等式（组）”的数形转换提供认知基础.

 

参考文献

[1]义务教育 数学课程标准（2022年版）

[2]汪 毅.应用变换法作函数图像 [J].理工科研 科教文汇，2008（6）:194. 

[3]杨兴发.二次函数图像的平移与对称变换问题例析[J].中学生数理化,2019(9):12

 

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