小学数学教学中培养模型意识的实践与思考

《义务教育数学课程标准（2022版）》对模型意识进行了这样的描述：模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。从概念描述中可以感受到数学数学模型与现实世界的联系，明确建构模型的基本路径，体会到应用模型的价值。那么在日常教学中如何帮助学生的建构模型意识呢？ 下面结合教学谈谈我的几点做法。

一、联系生活，感知模型  

数学源于生活，又被应用于生活，数学模型与现实世界也有着密切的联系，它是在现实世界中抽象出来的。因此，教学中，要充分将数学模型与现实世界联系起来，一方面，要让学生经历从现实世界中抽象出数学问题，进而推理验证建构模型的过程，另一方面，要让学生经历运用模型解决现实生活中的问题的过程，使学生感知到模型在现实生活中的存在，感知到模型在现实生活中的价值。

其实，现实生活中，有许多我们经常使用的生活数学模型，比如，我们生活中经常使用的钱币就是一种生活原型模型，学生对花钱有着很丰富的生活经验，他们熟知元角分之间的进率关系：1元=10角、1角=10分，其实这就是生活中的十进关系模型。另外，学生经常使用的直尺，现实生活中的米尺、卷尺等都是生活中现实存在的并且经常使用的直观模型，它不仅可以体现十进关系，也是数线模型的雏形，教学中，我们不仅要让学生感受到这些模型真实的存在于现实生活之中，还要有意识的引领学生将这些模型与相关的数学知识相联系，应用这些模型去构建新的模型。

另外，还有一些模型，是从现实生活中抽象提炼出来的，比如，生活中经常见到长方形草坪、长方形桌面、长方形纸张，那长方形到底是什么样子的呢？我们需要将生活中的长方形去除颜色、质地等非本质属性，抽象出长方形模型，进而聚焦长方形的边、角两个要素研究特征，深化对抽象模型的认知，在此基础上，依据模型判断生活中的实物表面是否是长方形，并对各种不同的图形进行分类。

还比如生活中常见的购物问题，在大量购物实例的基础上，帮助学生抽象出单价×数量=总价的购物数学模型，进而可以依据模型的变换解决生活中不同的有关购物的实际问题。

联系生活，感知生活模型，感知生活实例中抽象出来的数学模型，感受模型与数学之间的密切关系，感受模型对于解决数学问题以及生活实际问题的重要作用是发展模型意识的关键。

二、经历过程，建构模型

张奠宙教授认为：广义的数学模型是数学的各种基本概念和基本算法；而狭义的数学模型是一种关系结构，以反映特定事物系统。而关系结构是抽象的，因此，让学生经历从现实生活原型出发，逐渐剥离非本质属性，聚焦本质属性，并用数学语言描述和表达的过程，是学生对数学模型建构并深刻理解的过程，也是掌握建构模型方法，形成建构模型意识， 提升建构模型能力的过程。因此，教学中，教师一定要创设条件让学生经历建构模型的过程，积累建构模型的经验，逐渐形成模型意识。

如在教学倍的认识一课时，为了深化学生对“倍”的认识，我抓住2倍基本模型作为一个核心活动，引领学生借助红花3朵、黄花6朵的实物图动手圈一圈、画一画，在直观体验中，初步感受到两个量之间的份数关系；接着，变化红花、黄花朵数：红花4朵、黄花8朵；红花5朵、黄花10朵，引领学生观察比较，在变中感受不变，从而产生认知冲突，为什么红花、黄花的朵数在不断发生变化，可是黄花朵数却都是红花朵数的2倍呢？学生在各种信息中聚焦本质信息，不管红花、黄花的朵数怎样变化，只要比较的量中包含着2个标准量，那么比较的量就是标准的2倍。变化中凸显的是不变的2倍核心本质，在此基础上，去掉每个圈中的事物，抽象出2倍的直观模型图，使学生对倍的认知由具体数量抽象成“份”的基本模型：

通过直观模型图，学生认识到每个圈里可以放不同朵数的花，但是每个圈里的朵数必须同样多；除了花，还可以是不同的事物，比如上面圈里画6个▲，下面每个圈里画6个?，一共12个?；上面的圈是标准，不管标准是什么，也不管标准里面有几个事物，只要下面的这个量里面有两个标准那么多，那么这个量就是标准的2倍。 在这个过程中，学生逐层剥离非本质信息，聚焦本质信息，最终抽象出2倍基本模型，实现了由具体到抽象的思维转化，深刻感受到了直观模型的重要价值。

           在学习《正比例的意义》一课教学时，出示表格：

引领学生观察表格中数据，发现表格中相对应的两个数的比值，也就是商是确定的。在此基础上，引发学生继续思考：为什么会有这样的规律呢？利用表格中的数据进行深入分析，学生发现，横向看，一种数量扩大或缩小，另一个数量也随着扩大或缩小到相同的倍数，因此才会出现纵向这两个数量的商相等的结果，比如苹果的质量由1千克到2千克，质量乘2，花的总钱数也由5元变为了10元，总价也正好乘2，反之亦然，即2÷10=（2÷2）÷（10÷2），从等式中ab可以看出，这正好符合商不变的性质，通过对表面数据的深层分析，学生理解了数据背后的本质内涵，进而抽象出正比例意义，像这样的两种量之间的关系叫做正比例关系，你能用自己的方式表达正比例关系吗？学生有的依旧用举实例的方法描述，有的用语言描述，还有的用字母来表达他们心目中的正比例关系：如果用a和b表示两种数量，并且■=c,(c是固定不变的)，这时a和b就是成正比例关系的量。从具体数量之间的关系逐渐对比分析抽象出正比例关系符号模型，学生经历了抽象、推理、建构模型的思维逐渐进阶过程，模型意识已经在学生的头脑中初步形成。

让学生经历模型建构的过程，在自主探索中逐步完成由具体复杂的实例聚焦本质、抽象概括、形成模型，感受模型的简洁美，感受模型的实用价值，提升了学生学习数学的兴趣，促进了模型意识的形成。

三、实际应用，解构模型  

数学模型是对数量关系或空间关系结构的一种抽象表达，因此，对模型内涵的真正理解是学生建立模型意识的关键，对模型内涵的理解除了让学生经历建构模型的过程，还要让学生经历运用模型的过程，在运用中学生会对模型每一部分的内涵以及各部分之间的关系再次进行深入分析，并将具体情境与已知模型建立起对应联系，不仅促进了学生对模型深层次的理解与认识，还促使学生将模型进一步应用到新的知识领域，解决新的问题。

（一）应用生活原型模型学习新知识

实物模型与学生的生活密切相关，学生对此有着丰富的生活经验，因此学生学习理解都比较轻松，这样的模型，我们可以将之运用到更加抽象的知识学习之中，成为理解新知识的中间模型。比如学习《小数的意义》一课，由于小数计数单位比较抽象，生活中又缺少相应的生活原型做支撑，因此学生初学会有一定的困难。为了帮助学生更好的建构小数计数单位，理解小数计数单位之间的进率关系，我借助了学生非常熟悉的元角分生活原型模型。首先出示0.1元，根据生活经验学生知道0.1元就是1角，0.1元为什么是1角呢？随着追问，学生会调动已有认知经验---已知的钱币进率模型解决问题，因为1元=10角，把1元平均分成10份，1份就是1角，也就是1元的十分之一，即0.1元。在此基础上，引领学生借助直观实物经历数计数单位的过程，1个0.1元是0.1元，2个0.1元是0.2元，3个0.1元是0.3元……，10个0.1元是1元，从而知道10个0.1元是1元，1元里面有10个0.1元，进而抽象出10个0.1是1。元角分的进率模型与小数计数单位之间的十进关系有着同样的关系结构，借助钱币原型结构认识小数计数单位，学生可以借助已有认知同化关系结构，经历这样的过程：首先将1元=10角的进率模型解构，明确将1元平均分成10份，1份是1角，在解构中建立二者的联系：1角是10份中的1份，因此1角是1元的十分之一，即■元，也就是0.1元，进而建构十进关系。应用模型解决新问题，在解构并建立联系的过程中，实现了对新知的认知，同时也感受到了模型的作用与价值。

（二）应用直观模型理清关系

数学是抽象的，有些数学知识的结构比较复杂，但是直观模型可以清晰地将复杂的结构关系清晰表达，帮助学生更好的解决问题。比如解决重叠问题：学校课外活动比赛，四一班有45人，每人至少参加跳绳和踢毽两项比赛中的一项，已知参加跳绳比赛的有28人，参加踢毽比赛的有25人，那么两项比赛都参加的有多少人呢？这个问题看似关系比较复杂，如果我们借助直观模型韦恩图，就可以非常清晰的呈现问题中的结构关系：

由图中我们可以看出，跳绳和踢毽中都包含了两项都参加的人数，跳绳人数+踢毽人数=总人数+两项都参加人数，因此两项都参加的人数=跳绳人数+踢毽人数-总人数，用25+28-45=8人。借助韦恩图这个直观模型，帮助学生理清了数量之间的结构关系，问题很容易得到了解决。

（三）多角度运用符号模型解决问题

符号模型是经过对大量实例的归纳推理，最终提炼出来的，它是对具体实例的抽象概括，具有简洁概括性，正是符号模型的这种特点，使它具有了容易记忆的优势，因此他成为了学生解决问题的好助手，而在运用符号解决问题的过程中，也促进了学生对符号模型结构关系的解构，加深了对模型背后意义的进一步理解，最终实现理解中运用、运用中理解的目的，而不是简单的套用模型公式。

如在教学三角形面积一课教学时，借助转化图形、建立联系，最终推导得出了三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2，字母公式是S=a×h÷2，学生利用公式很容易解决求三角形面积的问题，但是我们也发现在解决求三角形高或底的问题时学生很容易出现问题，这并不是学生没有记住公式，而是学生对公式并没有特别深刻的理解，只是单纯的记忆。因此，在平时的教学中，要灵活出示问题，让学生多角度运用符号模型解决问题，提升对模型的认识与理解。对于三角形面积的问题，我们可以出示这样的问题：已知一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，高是多少？学生借助面积公式解决问题，S=a×h÷2，则h=S×2÷a,用36×2÷9=8(厘米)，所以三角形的高是8厘米。在解决这个问题的过程中，要引领学生理解模型变形背后的道路，使学生在理解的基础上运用。求高时先要把三角形再次回归到平行四边形或是长方形，两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形或是三角形，因此用三角形面积×2，在此基础上再除以底就得到高了。逆用公式解决问题并不是公式的简单转化，要让学生明白转化的道理，对应转化的每一部分的结构关系要明确，不同角度的运用公式解决问题，是对公式模型的进一步解构的过程，也是对原有符号模型的深入理解与认知的过程。

在运用不同模型解决问题的过程中，既实现了对模型的进一步解构，深化对模型的认知，也使学生感受到了模型对于解决问题的重要价值，使学生体会到了模型的重要性，对于学生形成初步的模型意识起到了促进作用。

总之，模型意识的形成对于学生的数学学习有着重要的作用，因此，教学中，教师一定要创设条件让学生经历由具体实例到数学模型的抽象过程，培养学生的抽象推理能力，感受模型的价值与作用，这是发展学生的模型意识的关键。