（云南省宣威市第七中学 655400）
数学中最基础和最常用方程,高中数学的许多知识都构建在其上，所以该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查也是最多最广的。因为其基础性和易融性,所以考查的形式与方法与也多式多样, 常见的如直接法,公式法等等。
一、解题方法指导
1直接写出直线方程
2利用公式求直线方程
3通过直线系求直线方程
4结合向量知识求直线方程
5借助相关点求直线方程——轨迹法
6利用参数求直线方程
7通过分析结构求直线方程
二、范例剖析
1、直接法
例1. 直线在轴上的截距为3，且倾斜角的正弦值为，求直线的方程。
解： ∵sina=，∵cosa=±■
∴直线的斜率k=±■
故所求直线的方程为y=±■x+3
即4x-3y+9=0或4x+3y-9=0
评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法。同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0，π]内，从而有两个解。
2、公式法
例2. 过点P（2，1）作直线交轴、轴正方向于A、B，求使的面积最小时的直线的方程。
解：设所求直线方程为■+■=1，则由直线过点P（2，1），得
■+■=1（a＞0，b＞0）
即b=■，由b＞0，得a＞2
所以S△AOB=■ab=■a·■
=■=■·■
=■（a+2+■）
=■[（a-2）+■+4]
≥■[2]=4
当且仅当a-2=■，即a=4，b=2时，S△AOB取得最小值为4
此时所求直线方程为■+■=1，即x+2y-4=0
评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。这里选择了截距式方程。
3、直线系法
直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程
例3. 求过l1：2x-3y+2=0与l2：3x-4y-2=0的交点且与直线4x+y-4=0平行的直线方程。
解：设l1与l2交点的直线方程为
（2x-3y+2）+λ（3x-4y-2）=0
即（2+3λ）x+（-3-4λ）y+2-2λ=0
因为所求直线与4x+y-4=0平行
所以■=■，解得λ=-■
将λ=-■代入(*)，得
所求直线方程为4x+y-66=0
4、向量法
例4. 求与直线l1：3x-4y-7=0，l2：12x-5y+6=0夹角相等，且过点（4，5）的直线的方程。
解：设所求直线l的方程为y-5=k（x-4）
即kx-y-4k+5=0
其方向向量为v=（1，k）
又直线l1与l2的方向向量分别为a=（4，3）与b=（5,12）
由已知条件及向量内积公式，得
■=■
即■=■
解得k=■或-■
故所求直线l方程为9x-7y-1=0或7x+9y-73=0
评注：利用cosθ=■
5、相关点法
利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法。
例5. 求直线l：x-y-2=0关于直线l：3x-y+3=0的对称直线方程。
解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线的对称点为（x0，y0），则 解得
因为（x0，y0）在直线x-y-2=0上
所以x0-y0-2=0
（-■x+■y-■）-（■x+■y+■）-2=0
即7x+y+22=0
6、参数法
例6. 过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0和l2：x+y+3=0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。
解：设所求直线分别与l1、l2交于A、B
因为A在l1直线上
故可设A（t，2t-2）
又P（3，0）为AB的中点
由中点坐标公式，得B（6-t，2-2t）
由B在l2上，得（6-t）+（2-2t）+3=0
解得t=■，即A（■，■）
由两点式得所求直线方程为8x-y-24=0
7、结构分析法
例7. 若两条直线l1：a1x+b1y=3，l2：a2x+b2y=3相交于点P（1，2），试求经过点A（a1，b1）与B（a2，b2）的直线方程。
解：将l1与l2的交点P（1，2）代入l1与l2的方程，
得a1+2b1=3，a2+2b2=3
根据以上两式的结构特点易知：
点A（a1，b1）与B（a2，b2）的坐标都适合方程x+2y=3
故经过点A、B的直线的方程为x+2y=3.
